Salut à tous.
C'est à propos d'une inégalité:
Montrer que <math>\(\forall a, b \in \mathbb{R} : e^{\frac{a+b}{2}} \leq \frac{1}{2}(e^a+e^b)\)</math>
Ma réponse est:
<math>\(t \rightarrow e^t\)</math> convexe sur <math>\(\mathbb{R}\)</math> car sa dérivée <math>\(t \rightarrow e^t\)</math> est croissante sur <math>\(\mathbb{R}\)</math>

On a <math>\(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)</math>

Donc selon l'inégalité de Jensen:
<math>\(\forall a, b \in \mathbb{R} : e^{\frac{a+b}{2}} \leq \frac{1}{2}e^a+\frac{1}{2}e^b\)</math>
d'où le résulat.
Est-ce bon? Merci

Oui, ça me paraît parfaitement correct comme raisonnement.

EDIT: Mais tu n'as en fait même pas besoin d'utiliser l'inégalité de Jensen ; la définition d'une fonction convexe suffit.

Ouf
Autre truc:
Montrer que:
<math>\(\forall x \in [0,\frac{\pi}{2}], \frac{2}{\pi}x\leq sin(x)\leq x\)</math>
Je l'ai fait par la méthode classique, celle de considérer puis dériver la fonction <math>\(x \rightarrow sin(x)-x\)</math> etc..
Sauf qu'on nous demande de le faire par convexité.. Or sin est concave sur <math>\([0,\frac{\pi}{2}]\)</math>, que faire?

Puisque sin est concave (sur [0,π/2]), tu peux facilement démontrer la première inégalité.

et bien sin étant concave elle est en dessous de sa tangente en 0, mais passe au dessus de la droite qui passe par (0, sin(0)), et (pi/2, sin(pi/2)).

Citation : Poeter

Ouf
Autre truc:
Montrer que:
<math>\(\forall x \in [0,\frac{\pi}{2}], \frac{2}{\pi}x\leq sin(x)\leq x\)</math>
Je l'ai fait par la méthode classique, celle de considérer puis dériver la fonction <math>\(x \rightarrow sin(x)-x\)</math> etc..
Sauf qu'on nous demande de le faire par convexité.. Or sin est concave sur <math>\([0,\frac{\pi}{2}]\)</math>, que faire?

Déjà lorsqu'on demande prouver par convexité , j'imagine que cela veut dire aussi par concavité ...si la fonction est concave.
Pour l'inégalité de gauche il suffit d'appliquer la définition
<math>\(sin(tx+(1-t)y) \geq tsin(x)+(1-t)sin(y)\)</math> en choisissant judicieusement les paramètres ce que je te laisse le soin de trouver.

Pour celle de droite , la preuve ici par concavité résulte d'une propriété de toute fonction concave (resp. convexe) d'être en tout point au dessous (resp. au dessus de sa tangente)
Si cette propriété est un résultat acquis du cours , la conclusion est immédiate.
S'il faut l'établir formellement c'est ...plus long sans être trés difficile mais ça devient une question de cours générale.