Salut. Comme le dit le titre:

Démontrer que:

Quelque soit k appartenant à <math>\(N*\)</math> , <math>\(1/(k+1)\)</math> < <math>\(ln(K+1) - ln(k)\)</math> < <math>\(1/k\)</math>

(bornes incluses, je ne sais pas comment taper les signes..)

Dois-je procéder par récurrence?

J'aurais démarré de <math>\(k+1\)</math> puis je lui aurais ensuite appliqué la fonction ln etc.
Tout en prenant en compte le fait que la fonction f définie par <math>\(f(x) = ln(x)\)</math> est strictement croissante sur <math>\(]0;+ \infty[\)</math>

Pour ma part, je le ferais en deux partie.
D'abord tu démontres que <math>\(\frac{1}{k + 1} < ln(k + 1) - ln(k)\)</math>, puis que <math>\(ln(k + 1) - ln(k) < \frac{1}{k}\)</math>.
Pour ça je pense qu'étudier la fonction <math>\(f(x) = ln(x + 1) - ln(x) - \frac{1}{x + 1}\)</math> pour la première pourrait être une bonne idée (je n'ai pas essayé donc je n'en suis pas sur).
Pour la deuxième tu fais la même chose en ajustant un peu la fonction.


Sinon, tu peux peut-être aussi le démontrer par récurrence mais ça me parait plus long à faire.

Ca marche avec la fonction, j'ai testé.
Mais à la fin, on doit préciser que <math>\(N*\)</math> est inclus en <math>\(R*_+\)</math>, non?

Citation : Poeter

Ca marche avec la fonction, j'ai testé.
Mais à la fin, on doit préciser que <math>\(N*\)</math> est inclus en <math>\(R*_+\)</math>, non?

Pourquoi donc ?
Il suffit de prendre la définition de <math>\(N^*\)</math> et <math>\(R_+^*\)</math>.

Je ne comprends pas.

Ben <math>\(N^*\)</math> c'est tous les entiers sauf 0 non ?
D'ailleurs, ça doit plutôt être <math>\(N_+^*\)</math> vu que ln n'est pas défini en dessous de 0.

Tandis que <math>\(R_+^*\)</math> c'est tous les nombres, entiers ou à virgule, supérieur à 0. Donc c'est implicite comme inclusion.

Merci !

En effet, l'étude de la fonction permet d'accéder au résultat, mais je pense qu'il est plus naturel (enfin à voir...) d'utiliser l'égalité:

<math>\(\displaystyle \int_{k}^{k+1}\dfrac{dx}{x}=ln(k+1)-ln(k)\)</math>

et de majorer et minorer l'intégrale par ses valeurs aux bornes sachant que <math>\(x \mapsto \dfrac{1}{x}\)</math> est strictement décroissante et que l'intervalle d'intégration est de longueur 1.

C'est encore mieux...

Citation : floflo67

Ben <math>\(N^*\)</math> c'est tous les entiers sauf 0 non ?
D'ailleurs, ça doit plutôt être <math>\(N_+^*\)</math> vu que ln n'est pas défini en dessous de 0.

En fait <math>\(\mathbb{N}\)</math> est l'ensemble des entiers naturels, donc positifs !
Ainsi <math>\(\mathbb{N}^*\)</math> est l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à 1.
Pour avoir tous les entiers (relatifs) différents de zéro, c'est <math>\(\mathbb{Z}^*\)</math>.

Ah oui, autant pour moi leoleo.
J'avais un doute entre les deux...