Salut. C'est au sujet d'une question:

Etudier la suite définie par <math>\(Uo > 0\)</math> et quelque soit n supérieur ou égal à 0, <math>\(Un+1 = 1/2(Un + 1/Un)\)</math>

Par où commencer?

Merci pour votre aide.

Etude de la fonction associée: <math>\(f:=x\mapsto x+\frac{1}{x}\)</math> pour trouver les intervalles fixes par f, puis recherche des points fixes (f(x)=x, ce qui donne les limites finies éventuelles),...

Avant toute chose, un tout petit point sur la balise math : pour mettre en indice il faut utiliser le _ exemple : U_0 -> <math>\(U_0\)</math>
et il faut utiliser les {} si on veut mettre en indice plus d'un caractère,
exemple = U_{n+1} -> <math>\(U_{n+1}\)</math>

Donc si on réécrit bien ton problème on a :
<math>\(U_0>0\)</math> et <math>\(\forall n\geq0, U_{n+1}=\frac{1}{2}\left(U_n+\frac{1}{U_n}\right)\)</math>

Est-ce que tu pourrais nous préciser ce que tu as vu des suites en cours ? Il y a plusieurs façon de résoudre l'exercice selon les connaissances qu'on a.

Si tu définis la fonction <math>\(f(x)=\frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{x} \right)\)</math>, tu peux remarquer que pour tout <math>\(n \in \mathbb{N}\)</math>, tu as <math>\(u_{n+1}=f(u_n)\)</math>.

Tu peux donc commencer par étudier cette fonction f, notamment chercher si elle a des points fixes. Tu as quel niveau sinon ? peut-être que ce doc pourrait te servir, si tu connais toutes les notions qui s'y trouvent.

On a fait: les limites, les opérations sur les limites, croissance/décroissance, les suites adjacentes, suites de la forme: <math>\(U_{n+1}=f(U_n)\)</math>

Bon bein tu es dans le dernier cas

Oui, sauf que je ne sais quel intervalle choisir pour la fonction associée
Je pense que <math>\(R_+\)</math> est le bon choix, puisque <math>\(U_0 > 0\)</math>, non?

Il faut choisir un intervalle tel que tous les termes de la suite y soient à partir d'un certain rang. Sachant que <math>\(u_0 > 0\)</math>, demande-toi si tous les termes de la suite sont positifs.

<math>\(f(x) = 1/2(x+1/x)\)</math> est décroissante sur <math>\(]0;1[\)</math> et croissante sur le reste de <math>\(R_+\)</math>. Dois-je travailler sur chacun de ces intervalles?

Si <math>\(u_0 \in ]0,1[\)</math>, que peux-tu dire de <math>\(u_1\)</math> et des termes suivants ?
Si <math>\(u_0 > 1\)</math>, que peux-tu dire de <math>\(u_1\)</math> et des termes suivants ?

Je suis perdu...

As-tu vu en cours que lorsqu'une suite était définie par <math>\(u_{n+1}=f(u_n)\)</math>, on pouvait voir son comportement graphiquement (avec un chemin) ?

On faisait le tableau de variation de la fonction associée, puis on nous proposait un intervalle pour y travailler... On démontrait que la suite est croissante/décroissante, convergente, puis on trouvait la limite.
Là, je suis bloqué !

Je viens un peu comme ça sans trop regarder le topic mais de mémoire quand on avait une relation du type <math>\(U_{n+1} = f(Un)\)</math> on pouvait déterminer la limite en calculant <math>\(x = f(x)\)</math> non ? (avec x la limite).

D'ailleurs pour certaines suites on trace la droite d'équation <math>\((D) : y = x\)</math> et on regarde la limite graphiquement (la représentation graphique forme un chemin : chemin en escargot).

Ici je ne sais pas si ça marche.

Si <math>\(u_0 \in ]0,1[\)</math>, la représentation graphique en chemin de ta suite te permet de "voir" que les termes suivants seront tous supérieurs à 1. Si <math>\(u_0 > 1\)</math>, les termes suivants de la suite restent supérieurs stricts à 1.



Je ne sais pas si tu as déjà tracé des chemins comme ça ; si tu ne le comprends pas, n'hésite pas à demander.

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A partir d'un certain rang (1 au maximum), tous les termes de la suite sont donc supérieurs à 1 ; tu peux le démontrer par récurrence pour être rigoureux.
Il te faut à présent chercher les points fixes de f, c'est-à-dire les x tels que f(x)=x ; si ta suite est convergente, nécessairement ce sera vers un point fixe de f.
Ensuite, il faut étudier la monotonie de la suite ; pour cela, tu peux t'aider du tracé en chemin pour la conjecture et le démontrer proprement par le calcul.

@Craw : il faut déjà savoir si la suite est convergente ou pas, il me semble.

Je commence à travailler sur quel intervalle?

Comme tu le vois sur mon schéma, si <math>\(u_0 \in ]0,1[\)</math>, alors <math>\(u_1 > 1\)</math> (ça se voit d'ailleurs immédiatement avec la relation de récurrence qui définit ta suite).
Toujours avec mon schéma, tu vois que les termes suivants de la suite vont rester supérieurs à 1 ; pour être rigoureux, tu dois le démontrer par récurrence.

Si <math>\(u_0 > 1\)</math>, c'est encore plus simple : tous les termes de la suite vont être toujours supérieurs à 1 (ça se voit si tu refais un schéma).

En conclusion, tu dois montrer qu'à partir du rang n=1 au maximum, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle <math>\(]1, +\infty[\)</math> : c'est ton intervalle de stabilité pour la suite. La démonstration se fait rapidement par récurrence.

Je vais avoir l'air d'un crétin, mais je ne vois toujours pas comment procédér!

Pour étudier une suite définie par <math>\(u_{n+1}=f(u_n)\)</math>, les étapes sont les suivantes :

• trouver un intervalle de stabilité de la suite (ici <math>\(I=]1, + \infty[\)</math> à démontrer par récurrence)
• chercher les points fixes de f, en résolvant f(x)=x pour <math>\(x \in I\)</math> : si ta suite <math>\((u_n)\)</math> converge, nécessairement ce sera vers un point fixe de f
• étudier la monotonie de la suite par les méthodes usuelles ; tu peux d'ailleurs conjecturer, avec le tracé en chemin, que la suite va être décroissante
• utiliser le théorème suivant : "toute suite décroissante et minorée converge" => tu en déduis que ta suite <math>\((u_n)\)</math> est convergente
• tu notes <math>\(l=lim_{n \rightarrow +\infty} u_{n+1}=lim_{n \rightarrow +\infty} u_{n}\)</math>, que tu remplaces dans la définition par récurrence de la suite ; ça te permet de trouver la limite de ta suite

A quelle étape es-tu bloqué ?

- Démontrer l'intervalle de stabilité par récurrence..
- J'ai trouvé le point fixe: (1,1)
- A part conjecturer (méthode que je n'aime pas trop), je ne vois pas comment démontrer que la suite est décroissante...
- Pour le théorème, je connais, j'essaie de l'appliquer, mais en vain..

De manière générale une suite est décroissante si <math>\(U_{n+1} < U_n\)</math> donc si <math>\(U_{n+1} - U_n < 0\)</math>

Il suffit que tu calcules <math>\(u_{n+1}-u_n\)</math> et que tu utilises le fait que <math>\(u_n > 1\)</math>, ça marche tout seul.

Edit : conjecturer n'est pas une méthode, tu présumes simplement que quelque chose est vrai, par exemple grâce à un "dessin". Il te faut ensuite démontrer, car une conjecture n'est en aucun cas une preuve.

Dans ce cas, <math>\(U_{n+1} - U_n = \frac{1}{2}(\frac{1}{U_n}-U_n})\)</math>, ce qui nous mène nulle part car on sait pas si <math>\(0<U_n\leq{1}\)</math> ou bien <math>\(U_n\geq{1}\)</math>... La soustraction n'est pas la méthode à suivre.

Bien sûr que si on sait où se situe <math>\(u_n\)</math> ! Au minimum à partir du rang n=1, on a <math>\(u_n > 1\)</math>. Tu n'as pas réussi la récurrence ?

Malheureusement non

Tu remarques que pour <math>\(Un > 1\)</math> tous tes termes sont négatifs donc tu as démontré que la suite est décroissante.

D'ailleurs tu remarques rapidement en utilisant ta calculatrice que la suite est minorée par 1 et donc elle converge car toute suite décroissante et minorée converge.

Je suis tout à fait d'accord. Sauf que le problème c'est que voilà, je fait le tableau de variation de la fonction associée, elle est décroissante sur <math>\(]0,1]\)</math> et croissante sur <math>\([1,+\infty[\)</math>. Dois-je commencer à travailler directement sur <math>\([1,+\infty[\)</math>? Sinon, comment démontrer que c'est l'intervalle stable? Je ne réussis toujours pas la récurrence...

@Craw : il me semble que c'est la preuve de la stabilité de l'intervalle <math>\([1, +\infty[\)</math> qu'il n'a pas réussi à démontrer.

Comme j'ai un petit problème pour le montrer par récurrence ( ), j'ai fait autrement.
On définit la fonction f sur <math>\(\mathbb{R^{+*}}\)</math> par <math>\(f(x)=\frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{x} \right)\)</math>. On remarque que pour tout n entier naturel, <math>\(u_{n+1}=f(u_n)\)</math>.

J'étudie la fonction f. Sa dérivée vaut : pour tout <math>\(x \in ]0, +\infty[\)</math>, <math>\(f'(x)=\frac{1}{2} \left( 1- \frac{1}{x^2} \right)\)</math>. L'étude de la dérivée conduit au tableau de variation suivant :



On remarque que pour tout x, qu'il soit compris entre <math>\(]0,1[\)</math> ou <math>\(]1,+\infty[\)</math>, son image va être supérieure à 1.
Si on réapplique ceci à la suite <math>\((u_n)\)</math>, cela prouve que tous les termes de la suite à partir d'un certain rang vont être supérieurs à 1.

Citation : Gr3n@d1n3

Si on réapplique ceci à la suite (u_n), cela prouve que tous les termes de la suite à partir d'un certain rang vont être supérieurs à 1.

Le hic: comment faire?

Si <math>\(x \in ]0, +\infty[\)</math>, alors <math>\(f(x) \in [1, +\infty[\)</math>.

Si <math>\(u_n \in ]0, +\infty[\)</math>, alors <math>\(f(u_n) \in [1, +\infty[\)</math>, donc <math>\(u_{n+1} \in [1, +\infty[\)</math>.