Définie sur I = <math>\(]1,+\infty[\)</math>, on considère la fonction F:

<math>\(F(x) = \int_x^{x^2}\frac{\mathrm{d}t}{ln(t)^2}\)</math> (je progresse en balise maths )

1. Etudier le sens de variation de F sur I (elle est croissante..)
2. En utilisant la décroissance sur I de la fonction <math>\(\phi:t\longrightarrow \frac{1}{ln(t)^2}\)</math>, déterminer <math>\(\lim_{x \to +\infty}F(x)\)</math>
3. Après avoir justifié l'encadrement <math>\(0<ln(t)\leq{t-1}\)</math> pour <math>\(t\inI\)</math>, déterminer <math>\(\lim_{x \to 1^+}F(x)\)</math>

En quoi la décroissance de la fonction \phi pourra nous aider à déterminer la limite?

Merci.

Quand tu as une fonction définie par une intégrale avec des bornes étranges (ici <math>\(x\)</math> et <math>\(x^2\)</math>) il faut souvent procéder comme suit (je n'ai pas fait l'exo pour voir si c'est le cas ici, mais il y a de fortes chances) :

• Donner un nom à la fonction qui est intégrée, ici : <math>\(\varphi(t) = \frac{1}{\ln(t)^2}\)</math>
• On donne un nom à une primitive de cette fonction (même si on ne connait pas l'expression de cette primitive), ici : On appelle <math>\(\Phi\)</math> une primitive de <math>\(\varphi\)</math>
• On exprime la fonction à étudiée en fonction de <math>\(\Phi\)</math> en utilisant le théorème fondamental de l'intégration, ici : <math>\(F(x) = \Phi(x^2)-\Phi(x)\)</math>

Peut-être que cela peut t'aider.

Edit : d'ailleurs, ta réponse à la première question est fausse, <math>\(F\)</math> n'est pas croissante sur tout son intervalle de définition.

A propos de la 3ème question, j'arrive à justifier l'encadrement demandé mais je n'arrive pas à déterminer la limite.. Un coup de pouce?

Le carré porte sur le t ou le ln ? Je pense que c'est sur le ln, mais c'est pour être sûre.

Sinon, par rapport à ta première question, la fonction est décroissante sur ]1,2] et croissante sur <math>\([2, +\infty[\)</math>.

Le carré porte sur le ln.
Attends je refais..

Pour la deuxième question, tu choisis <math>\(t \in [x, x^2]\)</math>, puis tu passes à l'image en utilisant la monotonie de <math>\(\phi\)</math>.
Le passage à l'intégrale pour chaque membre de l'inégalité, suivi des limites devrait te mener au résultat.

Graphiquement, les limites en <math>\(1\)</math> et <math>\(+\infty\)</math> sont <math>\(+\infty\)</math>, reste à le prouver

Pour la question 3, <math>\(0<\ln(t)\leq t-1 \Rightarrow \frac{1}{(t-1)^2}\leq \frac{1}{\ln^2(t)}\)</math>, tu dois ensuite pouvoir minorer ton intégrale par quelque chose qui tend vers <math>\(+\infty\)</math> en <math>\(1^+\)</math> (j'ai pas vérifié, mais ça me semble l'esprit de la question)

Je pense que la minorer suffit.
En effet:

<math>\(\frac{1}{(t-1)^2}\leq{\frac{1}{(lnt)^2}}\)</math>

<math>\(\Leftrightarrow\)</math><math>\([-\frac{1}{t-1}]^{x^2}_x\leq{F(x)}\)</math>

<math>\(\Leftrightarrow\)</math><math>\(\frac{x}{x^2-1}\leq{F(x)}\)</math>

Puisque: <math>\(\lim_{x \to 1+} \frac{x}{x^2-1} = +\infty\)</math>

Donc <math>\(\lim_{x \to 1+} F(x) = +\infty\)</math>

Non?

Pour moi oui.

Ça me paraît correct pour la troisième question.

Reste à la minorer par quelque chose qui tend vers <math>\(+\infty\)</math> en <math>\(+\infty\)</math> (cf post de Gr3n@d1n3) pour répondre à la question 2 si cela n'est pas déjà fait.

C'est déjà fait.
Merci beaucoup !