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Angle des diagonales d'un quadrillatère

Comment le calculer

Sujet résolu
    3 novembre 2012 à 19:10:43

    Bonjours à tous,

    Après avoir passé sur le problème de nombreuses heures, et n'ayant pas trouvé de résultat significatif, (même avec l'aide de mon père et de Google), je souhaiterais connaitre la réponse à cette égnime :

    Peut-on, à partir des angles d'un quadrillatère, trouver l' angle formé par ses diagonales ?
    Si oui, quelle est cette formule?

    Merci d'avance.

    PS : Je précise que ce n'est pas la solution à un problème donné en classe que je veut avoir sans me fatiguer mais bien la solution à un problème posé par ma curiosité qui m'a déjà donné de sacrés maux de tête à force de chercher...
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      3 novembre 2012 à 19:36:23

      Bonjour,

      Je pense que la simple connaissance des angles d'un quadrilatère ne permet pas de connaitre l'angle des deux diagonales.
      Considère un carré : l'angle entre les diagonales est de 90°.

      Maintenant, étire ton carré de manière à former un rectangle. L'angle entre les diagonales diminue.

      Pourtant les 4 angles de ton quadrilatère sont inchangés : ils valent 90°.
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        3 novembre 2012 à 20:39:23

        Tout d'abord, merci pour ta réponse rapide et pertinante.

        Mais maintenant je vais te poser le problème differement :

        Image utilisateur

        Dans cette figure connaissant les 4 angles : ε, η, θ et ζ, peut on calculer ι (qui vaut 113.35° dans ce cas là) ?

        Merci encore
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        Anonyme
          3 novembre 2012 à 23:46:54

          Bonsoir,

          Le fait de connaître les demi-angles en A et B rend la situation différente et permet effectivement le calcul.
          J'obtiens bien le résultat que tu indiques en calculant comme suit:

          En notant <math>\(d_1 =\widehat{BDC}\)</math> et <math>\(d_2=\widehat{ADC}\)</math>, on peut écrire, en utilisant les relations classiques suivantes dans les triangles:
          triangle BCD: <math>\(\frac{sin(d_1)}{CB} = \frac{sin(\theta+\zeta)}{DC}\)</math>
          triangle ADC: <math>\(\frac{sin(d_2)}{AC} = \frac{sin(\eta+\epsilon)}{DC}\)</math>
          Triangle ABC: <math>\(\frac{sin(\eta)}{CB} = \frac{sin(\theta)}{AC}\)</math>

          En combinant cela , on élimine les longueurs et il ne reste plus que les angles. Il vient:

          <math>\(\frac{sin(d_1)}{sin(d_2)} =\frac{sin(\theta+\zeta)}{sin(\eta+\epsilon)}.\frac{sin(\eta)}{sin(\theta)}\)</math>

          Enfin du triangle ABD, on obtient : <math>\(d_1+d_2 =180- (\epsilon +\zeta)=\alpha\)</math>

          Le système en <math>\(d_1,d_2\)</math> se résoud alors facilement. On calcule par exemple <math>\(sin(d_1)= sin(\alpha-d_2)=sin(\alpha) cos(d_2) -cos(\alpha)sin(d_2)\)</math>
          Le report dans la première équation conduit à <math>\(tan(d_2)\)</math> puis <math>\(d_2\)</math>, <math>\(d_1\)</math> et enfin <math>\(i\)</math> qui a bien la valeur annoncé de 113,35° en application numérique . :p
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            4 novembre 2012 à 10:49:14

            Merci beaucoup pour ces réponses.

            Par contre avant de clore le sujet, je souhaiterai poser une dernière question :
            Dans un figure, les realtions entre les angles sont souvent des additions / soustractions (180 = a+b+c dans un triangle par exemple)
            Pourquoi dans mon cas de figure je ne peut pas lier ces 5 angles par des additions / soustractions uniquement ?
            En fait j'ai besoin de faire un algorithme à pratir de ces relations mais il devra tourner TRES vite (alors que l'utilisation des formules de trigo est tout sauf rapide).
            Oui je sais je suis exigent, mais ne frappez pas ! :p

            Merci encore pour ces réponses rapides et efficaces
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            Anonyme
              4 novembre 2012 à 16:35:03

              Bonjour,

              Ce que l'on peut déjà dire , c'est pourquoi on peut calculer <math>\(i\)</math> en fonction des seuls angles que tu donnes .

              Contrairement au cas général, il est facile de voir géométriquement que tous les polygones ( ils ne sont pas non plus uniques) qui vérifient ces conditions d'angles ont le même <math>\(i\)</math>, donc <math>\(i\)</math> doit être calculable en fonction d'eux seuls.

              Je comprends bien que ce n'est pas tout à fait la réponse à ta question ... :waw:
              mais j'ai quand même l'impression que, le résultat obtenu étant ce qu'il est,il aura du mal ( sauf cas particuliers genres carrés , peut-être losanges,...) à se transformer magiquement :magicien: en relation linéaires entre les angles.

              Ton algorithme devrait donc probablement devoir se soumettre à la loi implacable du quadrilatère convexe quelconque ! :diable:


              Edit

              à la rélexion, une raison directe qui confirme que le lien n'est pas linéaire est dans le résultat suivant.

              La surface d'un tel quadrilataire est égale au produit de la longueur des diagonales par <math>\(\sin(i )\)</math>.
              Si on la calcule autrement, en additionnant les surfaces des triangles qui le composent, les termes de cette somme sont de la forme <math>\(ab \sin(A)\)</math>
              Dans le cas général, il en découle bien des relations trigonométriques non linéaires entre les angles du quadrilatère et <math>\(i\)</math>.
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                4 novembre 2012 à 17:37:00

                Très bien et merci pour cette réponse claire, ça m'évitera de chercher indéfiniment une solution linéaire (mais c'est bien dommage pour mon projet il faut dire).
                Sur ce merci beaucoup encore de votre aide.

                Bonne soirée
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