Bonjour, j'aimerais savoir s'il existe une formule (j'en suis quasi-sûr) qui permettrait de connaître la valeur de l'angle d'intersection de deux droites sachant que je connais les équations des deux droites en question. Si oui pouvez-vous me la donner ? Merci d'avance.

L'angle directement je ne pense pas.
Cependant si tu possèdes 2 vecteurs directement (que l'on supposera normé) de ces 2 droites (notons les u et v) tu peux obtenir:
-le cosinus de l'angle en grâce au produit scalaire u.v
-le sinus de l'angle grâce au produit vectoriel u^v.

Avec l'équation d'une droite, on peut obtenir son angle (orienté) avec l'axe des abscisses : c'est arctan(coef. directeur).

Pour l'angle entre les deux droites, il suffit d'additionner de soustraire les deux angles...


(si tu ne comprends pas pourquoi, demande )

(edit pour corriger l'erreur)

Je ne comprends pas , désolé, mais j'aimerais savoir exactement comment ça fonctionne, si tu as le temps de m'expliquer

Plus simplement (j'espère ne pas dire de bêtise) si tu a l'équation d'une droite ax+by+c=0 un vecteur normal est (a,b) tu peux le normer et le faire sur l'autre droite, par produit scalaire des deux vecteurs, tu obtiens le cosinus de l'angle souhaité, a pi près, si tu veux être exacte, tu fais le produit vectoriel, et tu discutes en fonction de son signe

Mettons que tu as une droite d'équation <math>\(y=ax\)</math>, dans un repère <math>\((O;I;J)\)</math>.
Soit <math>\(A(1;a)\)</math> qui appartient à la droite.
<math>\((OA)\)</math> est donc la droite, et <math>\(OAI\)</math> est rectangle en <math>\(I(1;0)\)</math>. Donc, si l'angle orienté <math>\(\widehat{xOA}\)</math> vaut <math>\(\alpha\)</math>, on a :
<math>\(\tan(\alpha)=\frac{IA}{OI}=\frac{a}{1}=a.\)</math>
Donc <math>\(\alpha=\arctan(a)\)</math> modulo <math>\(\pi\)</math>


Finalement, si on a deux droites <math>\(\Delta_1\)</math> et <math>\(\Delta_2\)</math> d'équations <math>\(y=ax+b\)</math> et <math>\(y=cx+d\)</math>, et qu'on veut en calculer l'angle :

-On définit les droites <math>\(\delta_1\)</math> et <math>\(\delta_2\)</math> d'équations <math>\(y=ax\)</math> et <math>\(y=cx\)</math>

-En comparant les coefficients directeurs, on a <math>\(\Delta_1\parallel\delta_1\)</math> et <math>\(\Delta_2\parallel\delta_2\)</math>

-Donc :
<math>\(\widehat{\Delta_1; \Delta_2}\)</math>
<math>\(=\widehat{\delta_1; \delta_2}\)</math>
<math>\(=\widehat{\Delta_1; Ox} + \widehat{Ox; \Delta_2}\)</math>
<math>\(=-\arctan(a)+\arctan(b)\)</math>
<math>\(=\arctan(b)-\arctan(a)\)</math>
(tous ces calculs se font donc modulo <math>\(\pi\)</math>).


Si t'as encore une question, n'hésite pas ! (mais je ne reviendrais sans doute que Lundi)

Il y a 2 angles d'intersection entre 2 droite, même si on peut passer de l'un à l'autre vu que leur somme ( en prenant des angles pas orientés ) vaut Pi.
Mais bon par exemple si tu veut le plus petit tu calcule les deux puis tu choisi le plus petit...
Si on a l'équation des droites on a leurs vecteurs directeurs. Et après ça se fait bien en utilisant le produit scalaire de ces vecteur directeurs qu'on norment avant et Arccos ( en distinguant des cas... ).
Trop long de rédiger ça en latex mais bon j'espère que c'est compréhensible comme ça.

Euh avec l'équation des deux droites moi j'aurais récupérer les coordonnées de leur point d'intersection puis j'aurais calculé l'ordonnée du point d'abscisse 100 (ou 10 ou 1 enfin une valeur simple) pour chacune des droites et j'aurais utilisé la trigonométrie pour recouper tout ça, sans passer par les vecteurs … donnez moi 5 minutes pour écrire la démonstration en LaTeX.

Soit les droites (D) et (E) d'équations respectives :
<math>\(y = ax+b\)</math> et <math>\(y = cx+d\)</math>
On trouve aisément leur point d'intersection de coordonnée (<math>\(x_i , y_i\)</math>) qui doit valider l'équation :
<math>\(ax_i + b = cx_i + d\)</math>
Soit : <math>\(x_i = \frac{d-b}{a-c}\)</math>
De là on retrouve <math>\(y_i\)</math> tout aussi facilement.
Il s'agit désormais de trouver les ordonnées respectives <math>\(y_A\)</math> et <math>\(y_B\)</math> des points A et B des droites (D) et (E) et d'abscisse <math>\(x_A = x_B = 100\)</math> ; Cette opération se fait sans problème avec les équations de droites.

Petit récapitulatif de ce que nous avons dit.


La suite plus tard … ne m'en veuillez pas trop
En tous cas la démarche après c'est de calculer par trigonométrie l'angle que forme chaque droite avec la droite d'équation <math>\(y = y_I\)</math> (parallèle aux abscisses et passant par l'intersection des deux droites), puis d'additionner les deux.

Il y a une autre solution: Utiliser le théorème d'Al-Kashi:
Dans un triangle quelconque alpha = arccos( (b^2+c^2-a^2)/(2bc) )
avec alpha formé par les deux cotés b et c du triangle et a le coté opposé.

Soit les deux droites D1 et D2 ayant pour équations respectives y=a1x+b1 et y=a2x+b2 les deux droites dont on calcule l'angle de l'une par rapport à l'autre.

Tout d'abord, on ne peut calculer l'angle entre ces deux droites que si a1 et a2 sont différents (ou sinon les droites seraient parallèle).

Pour résoudre ce problème, prenons une troisième droite S ayant pour équation y=px+m tel que p différent de a1 et de a2.

Calculons les points d'intersections entre ces trois droites deux à deux:
L'intersection entre D1 et D2 est le point K ayant pour coordonnées x_k= (b2-b1)/(a1-a2) et y_k=a1*(b2-b1)/(a1-a2)+b1 (Voir ce que WYKIWYC a posté juste avant).
L'intersection entre D1 et S est le point L ayant pour coordonnées x_l= (m-b1)/(a1-p) et y_l=a1*(m-b1)/(a1-p)+b1.
L'intersection entre D2 et S est le point N ayant pour coordonnées x_n= (m-b2)/(a2-p) et y_n=a1*(m-b2)/(a2-p)+b2.

On obtient donc le triangle KLN dont on connait les longueurs :
KL=racine_carrée( (x_l-x_k)^2+ (y_l-y_k)^2 )
KN=racine_carrée( (x_n-x_k)^2+ (y_n-y_k)^2 )
LN=racine_carrée( (x_l-x_n)^2+ (y_l-y_n)^2 )

Pour trouver l'angle entre les deux droites D1 et D2 on applique arccos( (KL^2+KN^2-LN^2)/(2*KL*LN) )

Oui c'est assez habile dans le sens où j'étais obligé de décomposer l'angle en deux triangles rectangles pour utiliser la trigo alors qu'Al-Kashi peut s'appliquer directement.

C'est très simple si tu connais <math>\(m1\)</math> et <math>\(m2\)</math>, respectivement les coefficients angulaires de la droite <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math>.

Le coefficient angulaire de la différence de ces 2 droites ces droites par rapport aux abscisses est <math>\(arctan(m1)\)</math> et respectivement <math>\(arctan(m2)\)</math>. L'angle entre ces deux droites est donc bêtement la tangente de la différence entre <math>\(arctang(m1)\)</math> et <math>\(arctang(m2)\)</math>, soit la formule:
<math>\(tan(arctang(m2) - arctang(m1)) = (m2 - m1 )/ ( 1 + m1*m2)\)</math> (voir formule de trigo)
Ce résultat est la la tangeante de l'angle recherché. Un dernier petit <math>\(arctang\)</math> et le tour est joué

Sinon, comme l'a dit tr1691, tu peux utiliser le produit scalaire. Tu sais que<math>\(a.b = cos(angle entre les deux droites)* ||a||*||b||\)</math> .
Même technique avec le produit vectoriel.

Voilà j'espère t'avoir aidé.