Bonjour,
Demain j'ai un DS de Maths et pour m'entraîner, je révise des annales. Cependant, je suis un peu coincé à un moment: il faut que je résolve l'équation : <math>\((2+cos(x))e^{1-x}=3\)</math> sans calculatrice.
Cependant, je ne vois absolument pas comment faire, c'est pourquoi je vous demande si l'un d'entre vous connaîtrais la marche à suivre pour résoudre ce problème.

Merci d'avance

Panzanni

Tu passes le 3 à gauche, tu fais l'étude de fonction pour avoir le tableau de variation.
Un petit coup de théorème des valeurs intermédiaire, et ensuite ça doit se faire par dichotomie...

Merci, en effet, jusqu'au théorème des valeurs intermédiaires, je voyais comment faire, cependant, pour la dichotomie sans calculatrice, je n'en ai aucune idée.

Tu le fais à la main...

Tu regardes en x=0: <math>\((2+cos(0))e^1=3e^1\)</math> donc déjà la on est trop haut.

On regarde en x=1

<math>\((2+cos(1)) e^0\)</math>.

Alors pour cos(1), comme 1 est un angle très petit, tu es encore très proche de l'axe des abscisses dans ton cercle de trigo tu peux donc dire que cos(1) est très très proche de 1 donc 2+cos(1) est très très proche de 3.

Bon sauf qu'ici on est pas en physique

Mais déjà on a bien réduit l'intervalle dans lequel devait se trouver la solution (on est passé de <math>\(\mathbb{R}\)</math> à <math>\([0;1]\)</math>).

Donc pour la borne de droite, plus petit que 1 ça va être compliqué... il faut donc essayé de réduire la borne de gauche (ça devrait tourner aux alentours de [0.8;1])

D'accord, merci

Mais je dois donner une valeur approchée à 10^(-2) près, et ça me semble compliqué d'avoir cette précision avec la dichotomie.

Citation : Panzanni

D'accord, merci

Mais je dois donner une valeur approchée à 10^(-2) près, et ça me semble compliqué d'avoir cette précision avec la dichotomie.

Pas compliqué, mais long. . Il n'y a pas vraiment de solution miracle.
Sinon, il faut sentir le résultat, et donc partir de ce point là. Ainsi, tu as déjà beaucoup moins de dichotomie à faire.
Mais ça n'en reste pas moins long .

Merci

Citation : Ahti

Alors pour cos(1), comme 1 est un angle très petit, tu es encore très proche de l'axe des abscisses dans ton cercle de trigo tu peux donc dire que cos(1) est très très proche de 1…

Non, je te rappelle que la fonction cosinus est en radians par défaut. Donc cos(1) ≈ 0.54, ce qui est assez éloigné de 1.

En revanche, on a bien un zéro dans l'intervalle [0, 1].

Citation : Me Capello

Citation : Ahti

Alors pour cos(1), comme 1 est un angle très petit, tu es encore très proche de l'axe des abscisses dans ton cercle de trigo tu peux donc dire que cos(1) est très très proche de 1…

Non, je te rappelle que la fonction cosinus est en radians par défaut. Donc cos(1) ≈ 0.54, ce qui est assez éloigné de 1.

En revanche, on a bien un zéro dans l'intervalle [0, 1].

Certes... Mais bon comme la fonction est décroissante, cela ne change pas grand chose au raisonnement.

Sinon, plutôt que la méthode de la dichotomie, on peut utiliser la méthode de Newton (ou au moins la méthode de la sécante si tu n'as pas encore vu les dérivées):

<math>\(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n+\frac{(2+\cos x_n)\,e^{1-x_n}-3}{(2+\sin x_n+\cos x_n)\,e^{1-x_n}}\)</math>

<math>\(x_0=1 \Rightarrow x_1=\frac{1+\sin(1)+2\cos(1)}{2+\sin(1)+\cos(1)}\approx0.864\text{~~et~~}f(x_1)\approx0.035\)</math>

Mais si tu n'as pas du tout le droit d'utiliser ta calculatrice, je ne vois aucune méthode…

Tant pis, merci quand même