Bonjour tout le monde,

Pouvez-vous me dire si mes réponses sont correctes ? Voici le vrai ou faux :



Mes réponses :



Merci d'avance aux courageux qui se risqueront à ce questionnaire !

la d) est fausse si la famille comporte des vecteurs nuls.
la h) est fausse.
Tu as bon sinon je pense.

Pour le c) je dirais faux étant donné que <math>\(\mathbb{R}^n\)</math> est de dimension n+1. Non ?

Edit : tout dépends si l'on considère <math>\(\mathbb{R}^n\)</math> comme un de ses sous-espaces en fait. Je pense que oui.

En effet GROSSE bêtise de ma part. Les vacances et le sommeil n'arrangent pas les choses, merci de veiller au grain Janeo

Tu confonds avec Rn[X].

Tout d'abord merci pour ces réponses rapide.

Citation : Janeo

la d) est fausse si la famille comporte des vecteurs nuls.

Tout d'abord j'allais dire "bien vu", mais ensuite je me suis fais la réflexion que "orthonormé = orthogonal + norme = 1, et donc le vecteur nul ne satisfait pas à cette condition. Non ?

Citation

la h) est fausse.

Ici je ne comprend pas très bien pourquoi, vu que si f tend vers a depuis toutes les direction possibles, alors il faut bien que a existe, non ?
Surtout que après ce post, je pensais avoir bien compris la bête.

Excuse moi pour la d), j'avais confondu orthonormé et orthogonal.
Pour la h), f n'admet pas de limite en a depuis toutes les directions possibles. f est juste dérivable selon toute direction, si j'ai bien compris l'énoncé.

Citation

Pour la h), f n'admet pas de limite en a depuis toutes les directions possibles

Si, je pense que justement si.

Sinon en feuilletant mon syllabus je suis tombé la-dessus :

Citation

Théorème : Si <math>\(f\)</math> est une fonction de <math>\(R^n -> R^p\)</math> alors <math>\(lim_{x->a} f(x) = b\)</math> si et seulement si pour tout chemin <math>\(c\)</math> passant par <math>\(a\)</math>, la limite de <math>\(f(x)\)</math> le long de <math>\(c\)</math> existe et vaut <math>\(b\)</math>.

L'existence des dérivées directionnelles ne signifie pas que f admet une même limite dans toutes les directions possibles.

Arf en effet tu as raison, j'ai confondu les dérivées directionnelles et les limites vers a qui existent en prenant tous les chemins possibles.

D'ailleurs si je ne me trompe pas, voici une fonction qui en est un parfait contre exemple :

Limite en 0 de :


En tout cas, merci pour tes réponses rapides Janeo. Je peux maintenant (me) reposer en paix.

De rien C'est très bien d'avoir trouvé un contre-exemple

Bonsoir,
Un doute sur la question g) où tu réponds "vrai" et qui n'a pas était évoquée me semble-t-il
L'énoncé dit , en hypothèse, que la limite de f existe pour tout vecteur v . Mais il ne dit pas que cette limite est la même pour chaque v.

soit alors <math>\(\[ f(x,y)=\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}} \]\)</math> avec <math>\(f(0,0) =0\)</math> que l'on examine en <math>\(\[ a=(0,0) \]\)</math>. On note <math>\(\[ v=(h,k) \]\)</math> donc <math>\(\[ c(t)=(0,0)+t(h,k)=(th,tk) \]\)</math>
Alors <math>\(\[\forall (h,k), f(c(t))_{t\rightarrow 0}\longrightarrow \dfrac{hk}{h^{2}+k^{2}} \]\)</math> valeur indépendante de t constituant la limite de f selon une direction en (0,0) .
Mais f(x,y) n'est pas continue en (0,0)puisqu'elle y prends une infinité de valeurs.
La continuité doit se vérifier par une convergence en norme dans l'espace considérée (dans l'exemple, <math>\(R^2\)</math> avec <math>\(\[ \Vert (x,y) \Vert ={\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \]\)</math> ), ce que une limite directionnelle n'assure pas nécessairement.
( graphiquement cette exemple permet de bien visualiser comment on peut converger en (0,0) selon tout vecteur (h,k)du pla Oxy : car la surface z=f(x,y) est générée par une droite horizontale qui "s'enroule" autour de Oz entre (0,1) ce que l'on voit encore plus clairement en passant en coordonnées cylindriques où <math>\(z = cos(\theta)sin(\theta)\)</math>; le segment (0,1) sur OZ est l'ensemble des points de convergences directionnelles!) )

Par contre si on rajoute dans l'énoncé que la limite de f selon tous les vecteurs v est unique ce doit être vrai.

Mhhh, bien vu nabucos !

Comme quoi il faut vraiment être très méfiant avec les QCM, car tout peut se jouer sur quelques mots ou omissions, et ici, je l'aurai complètement zappée. Dorénavant je tenterais d'être plus attentif.

Cependant, si jamais je retombe sur ce genre de questions, je pense que je n'hésiterais pas, même en examen à demander à un assistant de confirmer, car ici la question peut vraiment prêter à confusion. Surtout que notre prof est d'origine néerlandophone, et même si les questionnaires sont vérifiés par plusieurs personnes, si ça se trouve, mêmes le prof n'a pas pensé à ce cas.

Encore merci.

Je ne pense pas que l'origine de ton professeur ait quelque chose à voir là dedans =P
C'est plutôt question de rigueur mathématique qui est, à mon avis, la même dans tous les pays
A partir du moment où une hypothèse n'est pas clairement formulée, c'est qu'on ne peut la prendre en compte. Je n'ai jamais connu d'exercice où il fallait extrapoler à partir de l'énoncé

Nabucos a raison en disant que le résultat est faux. Cependant ce n'est pas à cause de l'unicité de la limite. D'ailleurs l'énoncé sous-entend en disant "La limite" que f admet la même limite en a selon tout vecteur v.

Cependant le résultat reste faux. Prenons f(x,y) = x²/y pour (x,y) non nul et f(0,0) = 0.
On fixe un vecteur v de coordonnées (x,y) avec y non nul. f( (0,0) + t*v) = t * (x²/y) tend vers 0 quand t tend vers 0. Pourtant f(t,t²) tend vers 1 quand t tend vers 0, donc f n'est pas continue en 0.

Citation : Personne

Je ne pense pas que l'origine de ton professeur ait quelque chose à voir là dedans =P
C'est plutôt question de rigueur mathématique qui est, à mon avis, la même dans tous les pays
A partir du moment où une hypothèse n'est pas clairement formulée, c'est qu'on ne peut la prendre en compte. Je n'ai jamais connu d'exercice où il fallait extrapoler à partir de l'énoncé

C'est que tu as du beaucoup lire d'exo de proba alors, parce que des fois, de decrypter certain sujet relève de l'art divinatoire

Quand il parlait de l'origine du prof, j'imagine qu'il faisait surement référence à une maitrise encore incomplète de la langue qui peut entrainer des approximations dans les tournures de phrase utilisées.

@janeo : ton exemple ne vérifie pas les hypothèses de la question puisque tu imposes y non nul pour v(x,y) la ou l'énoncé stipule que la limite doit exister selon tous les vecteurs de <math>\(\mathbb{R}^2\)</math>.

En effet, je n'ai pas fait de proba depuis la terminale ! :')

Bonsoir,

@janeo

Citation

l'énoncé sous-entend en disant "La limite" que f admet la même limite

Cela se discute si on ne sort pas "la limite" de la phrase compléte.. "la limite de f existe selon chaque chemin": l'affirmation d' une existence selon chaque chemin ne sous-entend pas en logique l'unicité, par contre c'est vrai, elle l'inclut .
...Ce qui m'a fait imaginer une conjecture finale hâtive et fausse .
Noter quand même que j'ai dit un "doit être vrai" supputatif et non "est vrai", prudence oratoire bienvenue en l'occasion !
edit: je n'avais pas vu la dernière remarque de Rushia sur l'exemple de janeo
...est ce que cela relance la conjecture...? ..j'y réflêchis !:waw:

rushia => excuse-moi, il faut définir f par f(x,y) = x²/y pour y non nul et f(x,0) = 0 pour tout x.

nabucos => il est vrai que l'énoncé pourrait être posé plus clairement.

Bonjour,

Citation : Janeo

rushia => excuse-moi, il faut définir f par f(x,y) = x²/y pour y non nul et f(x,0) = 0 pour tout x.

Je ne suis pas sur que définir ainsi f(x,y) change la remarque de Rushia.
La fonction est discontinue dans le plan y=0 et un chemin selon un vecteur <math>\(t(h,0)\)</math> n'est pas définie donc f ne peut converger selon ce chemin, ce qui est contraire à l'hypothèse de l'énoncé.

Mais si la limite selon tous les chemins est définie et unique on peut tenir il me semble le raisonnement suivant.
En effet, pour <math>\(f\)</math> entre espaces <math>\(R^n,R^p\)</math>, une limite en <math>\($a$\)</math> se définit par la convergence en norme.
Si les chemins particuliers définis selon tous vecteurs conduisent à une convergence selon <math>\(t\)</math>vers une limite unique en <math>\($a$\)</math>, il me semble que la convergence en norme vers cette même limite est assurée.En effet si on la définit formellement ( en a=0 pour alléger l'écriture) par <math>\(\[ \forall \varepsilon, \exists \delta , \Vert \vec{v} \Vert \leq \delta \Longrightarrow \Vert f(\vec{v})-l \Vert \leq \varepsilon\]\)</math>, il suffit de choisir <math>\(\[ \delta = min(\Vert t \vec{u} \Vert)\]\)</math> pour t rendant <math>\(\[ \Vert f(c(t))-l)\Vert \leq \epsilon ,\forall \vec{u} \]\)</math>
ce qui est toujours possible puisque la limite unique de f existe dans toute direction dans cette hypothèse.
Cela confirmerait alors bien l'importance de la précision de l'énoncé pour conclure.

edit: je raye ce faux raisonnement

Citation : nabucos

La fonction est discontinue dans le plan y=0 et un chemin selon un vecteur t(h,0) n'est pas définie donc f ne peut converger selon ce chemin, ce qui est contraire à l'hypothèse de l'énoncé.

Si v = (h,0), alors f(t*v) = 0. Donc f tend vers 0 quand t tend vers 0 en suivant la direction (h,0). f converge donc bien selon cette direction

Par ailleurs, je ne comprend pas ta preuve. Quel est ce c(t) introduit ? Tu poses d = min ||t*u|| quand u varie dans quel ensemble ?

Bonjour
<math>\(f(th,0)=th^2/0\)</math> chemin qui ne me semble pas trés bien défini !
c(t) est défini dans l'énoncé.

f(th,0) = 0, relis la définition de la fonction.

Merci pour c(t) je relis ta preuve plus en détail. Mais je ne comprend pas comment tu définis min(t||u||).

Une autre façon de voir que le résultat est faux : une convergence en suivant des droites vers un même point n'implique pas une convergence selon tous les chemins possibles.

Citation

f(th,0) = 0, relis la définition de la fonction

.
J'ai déjà lu!
La fonction définie ( en posant f(x,y)=0 n'est pas un prolongement par continuité de f(x,y)
f reste discontinue le long de y=0
A partir de l'hypothèse générale de la question g), il faut vérifier pour cet exemple <math>\(\[ f(th,rk)=t\dfrac{h^{2}}{k} \]\)</math>
L'existence d'une limite pour tout chemin où k tend vers zéro ne peut , je pense, être établie. Aussi petit soit t il existera toujours des chemins selon (h,k), arbitrairement proche de (h,0) , rendant f arbirairement grand.
Le fait de poser a priori f(x,0)= 0 ne change pas ce problème.

Citation

Une autre façon de voir que le résultat est faux : une convergence en suivant des droites un même point n'implique pas une convergence selon tous les chemins possibles.

A priori , j'établis le contraire, je ne vais pas y mettre ma main à couper, mais...
ce n'est pas en suivant "des droites" mais toutes les les droites vers une même limite " que je déduis la convergence en norme
Si on me prouve clairement que c'est faux , je veux bien rendre les armes.

edit je raye ma persistance dans l'erreur

Je vais tout reprendre car je n'ai pas l'impression d'avoir été clair.

- Voici le résultat que tu énonces si j'ai bien compris :

"S'il existe une limite l telle que pour tout vecteur v de R^n f(a + t*v) tend vers l lorsque t tend vers 0, ALORS f(x,y) tend vers l lorsque (x,y) tend vers a."

- Voici mon contre-exemple :

Soit f de R² -> R définie par :
f(x,y) = x²/y si y est non nul
f(x,0) = 0 sinon

On considère ici a = (0,0).

Soit un vecteur v = (x,y).
Si y est non nul, f(t*v) = t * x² / y tend vers 0 quand t tend vers 0.
Si y est nul, f(t*v) = t * x² tend vers 0 lorsque t tend vers 0.

J'ai donc la convergence vers 0 en (0,0) pour toute direction v, l'hypothèse du théorème est donc vérifié pour l=0.

Pourtant, (t,t²) tend vers 0 lorsque t tend vers 0, mais f(t,t²) = 1, donc f ne tend pas vers l=0 ! La conclusion du théorème est donc fausse.

- Remarques :

La notion de continuité est hors sujet ici. f est continue en x0 ssi f(x) -> f(x0) lorsque x -> x0. f peut très bien admettre une limite en x0 sans être continue (si par exemple la limite en x0 ne veut pas f(x0)).

c(t) = a + t*v représente un chemin le long d'une droite. La convergence selon toutes les droites possibles passant vers a ne suffit pas. (t,t²) représente la convergence en se rapprochant de (0,0) à l'aide de l'hyperbole y = x².

- Ta démonstration est fausse. J'aimerais bien t'expliquer pourquoi, mais je ne comprend pas la définition du min(t*||u||).

Voilà si tu n'as pas compris avec ça, je rend les armes

Bonjour,

Bon a priori OK, j'ai mélangé limite et continuité dans un même raisonnement , donc faux
malgré des errements ultérieurs,...j'ai au moins soulevé la question g)!

Oui tout a fait sans ton intervention nous naurions pas vu que le résultat est faux !

Bonjour,
ultime remarque : j'auto-établis la fausseté de "ma preuve"
obnubilé par ce que je cherche , je fais une hypothèse implicite non justifiée sur f!
Rien ne m'autorise à considérer que la limite l même unique obtenue pour les chemins rectilignes est utilisable dans l'écriture de la convergence en norme pour f. J'écris grosso modo simplement que si f est continue en a, elle a la limite l obtenue par les chemins ce qui n'est pas un scoop et est évidemment hors sujet) .

Ouch ! Le sujet a fait couler de l'encre on dirait ! Et tout ça rien que pour m'embrouiller...

Petite info supplémentaire :

Il y a un autre vrai ou faux dans mon cours où c'est marqué :

Citation

Si la limite en (a,b) de f(x,y) existe sur une infinité de chemin différents passant par (a,b) et vaut à chaque fois le même nombre "l" alors la limite quand (x,y)->(a,b) existe et vaut "l".

La réponse est faux, par contre elle devient vrai si au lieu de "infinité de chemins" on remplaçait par "tous les chemin possibles".

Ici, j'ai l'impression que la question est la même sauf qu'il faut savoir si le prof parlait d'une limite identique pour tous les chemin ou non. Et donc dans le premier cas la réponse serait vrai et dans le deuxième faux.

Non, parce que tous les chemins possibles ne sont pas des droites comme c'est le cas dans cette question.

Ha oui c'est vrai !

Pour conclure, même si la limite dont parle le prof dans l'énoncé en testant tout les chemin c(t) = a +tv est la même. La réponse est tout de même fausse, car on ne teste pas toutes les chemin possibles, vu qu'on ne teste qu'avec des chemins en forme de droite.

Une fois de plus, un grand merci à tous !