Bonjour,

Je rencontre quelques difficulté à comprendre comment on trouve la base d'un système linéaire.
Dans mon cours j'ai cette définition:

Citation : Cours de Math

On dit que les vecteurs <math>\(\vec{x_1}, \dots,\vec{x_k}\)</math> forment une base de V s'ils sont une famille génératrice minimale, c-à-d que chaque fois qu'on enlève l'un des vecteurs <math>\(\vec{x_1}, \dots,\vec{x_k}\)</math>, les <math>\(k - 1\)</math> vecteurs qui restent ne forment plus une famille génératrice.

Où une famille génératrice:
On dit que les vecteurs <math>\(\vec{x_1}, \dots,\vec{x_k}\)</math> forment une famille génératrice pour V si tout vecteur de V est combinaison linéaire des <math>\(\vec{x_1}, \dots,\vec{x_k}\)</math>

On me donne comme exemple:

Les vecteurs <math>\(\vec{v_1} = (1,0),\vec{v_2} = (0,1), \vec{v_3} = (1,1)\)</math> sont une famille génératrice de <math>\(\mathbb{R}^2\)</math>, mais il ne sont pas une base.
Par contre <math>\(\vec{v_1} = (1,0),\vec{v_2} = (0,1)\)</math> sont une base de <math>\(\mathbb{R}^2\)</math>

Jusque là j'ai pas trop de soucis.
Seulement je ne comprend pas comment on les trouvent pour cette exercice résolu:

<math>\(S: \left \{ \begin{matrix} x_1+ x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 1 \\ x_2+x_3 - x_4=1 \end{matrix}\)</math>
Et on trouve les bases:
<math>\(\vec{x_1}=(0,-1,1,0,0),\ \vec{x_2}=(-2,1,0,1,0),\ \vec{x_3}=(-1,0,0,0,1)\)</math>
Seulement je ne comprend pas comment on trouve ces bases.

Bonjour,

Remarques préliminaires :

• je ne pense pas qu'on parle de base d'un système linéaire, mais plutôt de base de l'ensemble des solutions.
• De même, on ne dit pas que <math>\(x_1\)</math>, <math>\(x_2\)</math> et <math>\(x_3\)</math> sont des bases, mais plutôt qu'ils forment une famille de vecteurs de base ou que ce sont des vecteurs de bases.

Dans le cas de ton système, j'ai l'impression que c'est à peu prêt le même principe que pour résoudre une équa diff linéaire : tu cherches une solution particulière (par exemple ici <math>\(x_0 = (0,1,0,0,0)\)</math>) et tu dis ensuite que <math>\(x\)</math> est solution de <math>\(S\)</math> si et seulement si <math>\(x-x_0\)</math> est solution du système :
<math>\(S_h: \left \{ \begin{matrix} x_1+ x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 0 \\ x_2+x_3 - x_4=0 \end{matrix}\)</math>
Dont l'ensemble des solution est un espace vectoriel.

Ce système contient deux équations pour cinq inconnues, il va donc falloir faire passer trois de ces inconnues en paramètres, ce qui a de forte chance de conduire à un espace vectoriel de dimension 3. Ici, on peut par exemple choisir de faire passer <math>\(x_3\)</math>, <math>\(x_4\)</math> et <math>\(x_5\)</math> en paramètres, ce qui conduit à réécrire le système de cette façon :
<math>\(S_h: \left \{ \begin{matrix} x_1+ x_2 = - x_3 - x_4 - x_5 \\ x_2 = - x_3 + x_4 \\ x_3 = \alpha \\ x_4=\beta \\ x_5=\gamma \end{matrix}\)</math>
Ce qui conduit aux solutions suivantes :
<math>\(S_h: \left \{ \begin{matrix} x_1 &=& -2\beta - \gamma \\ x_2 &=& \beta - \alpha \\ x_3 &=& \alpha \\ x_4&=&\beta \\ x_5&=&\gamma \end{matrix}\)</math>
D'où <math>\(x-x_0 = \alpha\left(\begin{matrix} 0\\-1\\1\\0\\0\end{matrix}\right)+\beta\left(\begin{matrix} -2\\1\\0\\1\\0\end{matrix}\right)+\gamma\left(\begin{matrix} -1\\0\\0\\0\\1\end{matrix}\right)\)</math>
Cela montre bien que les vecteurs <math>\((0,-1,1,0,0)\)</math>, <math>\((-2,1,0,1,0)\)</math> et <math>\((-1,0,0,0,1)\)</math> forment une famille génératrice de l'ensemble des solutions de <math>\(S_h\)</math>. Comme c'est en plus une famille libre, c'est une base.

Les solutions de ton système initial sont de la forme (par exemple, on pourrait très bien imaginer un autre <math>\(x_0\)</math> que celui que j'utilise ici, mais ça reviendrait au final au même) <math>\(x = \left(\begin{matrix} 0\\1\\0\\0\\0\end{matrix}\right)+\alpha\left(\begin{matrix} 0\\-1\\1\\0\\0\end{matrix}\right)+\beta\left(\begin{matrix} -2\\1\\0\\1\\0\end{matrix}\right)+\gamma\left(\begin{matrix} -1\\0\\0\\0\\1\end{matrix}\right)\)</math> et forment un espace affine.

Les équations différentiel c'est le chapitre 3(je suis au chapitre 1 =D)
Dans mon cours ils ont aussi prit: <math>\(\vec{x_0}=(0,1,0,0,0)\)</math> aurait-on pu prendre <math>\((0,0,1,0,0)\)</math>? Car il est aussi solution de <math>\(S_0\)</math>.

On aurait parfaitement pu prendre <math>\((0,0,1,0,0)\)</math> qui est solution oui (c'est d’ailleurs la solution quand <math>\(\alpha = 1\)</math> et <math>\(\beta=\gamma=0\)</math> dans les solutions générales qu'on obtient à la fin).

Pour les équa diff, au temps pour moi si tu ne les a pas vu ^^. Quand je disais que c'était le même principe, c'est quand on a par exemple une équation différentielle <math>\(f'(x) + af(x) = g(x)\)</math>, on cherche une solution particulière <math>\(f_0\)</math>, puis on résout de manière générale <math>\(f'(x)+af(x) = 0\)</math>, on dit ensuite que les solutions sont de la forme <math>\(f(x) = f_0(x) + (\text{les solutions de la seconde equadiff})\)</math> ce qui ressemble un peu à ce que l'on fait ici.


EDIT : La base trouvée n'est pas unique, par exemple, on aurait très bien pu mettre en paramètre <math>\(x_2\)</math>, <math>\(x_4\)</math> et <math>\(x_5\)</math> et on aurait obtenu la base <math>\((0,1,-1,0,0)\)</math>, <math>\((-2,0,1,1,0)\)</math> et <math>\((-1,0,0,0,1)\)</math>. En mettant en paramètre <math>\(x_2\)</math>, <math>\(x_3\)</math> et <math>\(x_5\)</math> on aurait obtenu une autre base, ect...