salut,

svp , aidez moi à demontrer le theoreme suivant ''soit E un k espace vectoriel de dimension finie .alors toute forme bilineaire symetrique f sur E ,posséde une base orthogonale ." 

merci d'avance.

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Edité par AichaFakhry 23 septembre 2018 à 12:21:07

Salut,

Tu sais que tu as le droit de faire des recherches sur Google ? "base orthogonale espace dimension finie", premier résultat donne : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/formes1/formes1_ch03/co/apprendre_ch3_04.html

Déjà la première question à se poser est : Qu'est-ce qu'une forme bilinéaire symétrique définie positive ? C'est un produit scalaire ! Cela revient à se poser la question : Tout produit scalaire possède t-il une base orthogonale ?

Peut être que je me trompe, mais je pense qu'il faut se ramener à la notion de projecteur orthogonal. 

Ensuite tu montres que le projecteur orthogonal est lui aussi une forme bilinéaire symétrique définie positive. 

La question ne concerne pas une forme bilinéaire symétrique définie positive, mais une une forme bilinéaire symétrique tout court. Donc ce n'est pas nécessairement un produit scalaire au sens où on l'entend dans un espace euclidien. Et cette distinction introduit celle entre l'existence d'une base orthogonale et d'une base orthonormale.

L'existence de la seconde implique celle de la première mais l'inverse est faux.

Une forme  non dégénérée  symétrique a toujours une base orthogonale ( c'est ce qui est demandé de montrer)  pas nécessairement une base orthonormale. Pour une   forme orthogonale quelconque, il peut exister des vecteurs \(u_i\)  non nuls et telle que \(f(u_i,u_i) =0\) donc vecteurs non nuls de norme nulle.

Un des exemples le plus connu est celui des formes bilinéaires symétriques  définissant la géométrie de l'espace de Minkowski, cadre théorique de la relativité restreinte. On définit ainsi les vecteurs de genre lumière ( cône lumière des vecteurs non nuls de norme  nulle) et les vecteurs de genre  espace  ou genre temps tel que la norme \(\Vert \vec{U}\Vert=g_{ij}U^{i}U^j\) ( notation d'Einstein) soit positive ou négative.

Le lien de @melepe donne la démonstration globale (non constructive) d'existence par récurrence. 
Le rang de la forme  égal a celui de l'espace vectoriel 'est une condition nécessaire pour qu'il existe une base orthonormale. Mais elle est non suffisante si le corps de définition est \(\mathbb{R}\).  C'est par contre une c.n.s sur \(\mathbb{C}\).

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Edité par Sennacherib 3 octobre 2018 à 16:49:36