Bonjour à tous.

Voilà c'est juste une petite question que je me pose comme ça:

Je rappelle le théorème de Bolzano-Weierstraß sur les suites:

De toutes suites bornées, on peut extraire une sous-suite convergente.

Et d'après la définition d'une sous suite:

Soit <math>\((u_n)\)</math> une suite de <math>\(K^{\mathbb{N}}\)</math> (<math>\(K\)</math> un corp entre <math>\(\mathbb{R}\)</math> ou <math>\(\mathbb{C}\)</math>) et une application <math>\(\phi\)</math> de <math>\(\mathbb{N}\)</math> dans <math>\(\mathbb{N}\)</math> strictement croissante. Alors <math>\((u_{\phi(n)})\)</math> est une suite extraite de <math>\((u_n)\)</math>.

Maintenant à partir de ces 2 informations...

On sait que <math>\((sin(n))\)</math> est une suite bornée puisque:<math>\(|sin(n)| \leq 1\)</math> et comme toute suite bornée elle n'échappe pas à la règle de mister Bolzano et admet donc forcément une sous-suite convergente...

Ma question est, comment peut on définir cette suite ?

La question peut également se posé pour le cosinus...

Le théorème de Bolzano est un théorème de topologie ... Et comme beaucoup de ces théorèmes, tu sais que tu vas pouvoir extraire une suite convergente, mais tu n 'as aucune méthode pour le faire !

Problème n° 2 : tu parles de "cette" suite, mais on peut trouver plusieurs sous suites qui convergent. En creusant un peu, tu peux même montrer que pour n'importe quel réel x entre -1 et 1 (inclus), tu peux construire une sous suite convergeant vers x. Même topo avec le cosinus.

Salut,
Peut être qu'il existe une suite plus simple qui réponde à ton problème mais en tout cas ce qu'on peut faire c'est d'utiliser la démonstration du théorème de bolzano weierstrass :
Soit <math>\((a_n), (b_n) et (c_n)\)</math> trois suites tels que :
<math>\(\forall n \in N c_n=\frac{a_n+b_n}{2}\)</math>
<math>\(a_0=-1\)</math>
<math>\(b_0=1\)</math>
Soit <math>\(n\in N\)</math>.
<math>\([a_n,b_n]\)</math> contient un nombre infini de terme de (sin(n)) donc <math>\([a_n,c_n]\)</math> ou <math>\([c_n,b_n]\)</math> contient un nombre infini de terme de (sin(n))
Si <math>\([a_n,c_n]\)</math> contient un nombre infini de terme de (sin(n))
Alors <math>\(a_{n+1}=a_n\)</math> et <math>\(b_{n+1}=c_n\)</math>
Sinon <math>\(a_{n+1}=c_n\)</math> et <math>\(b_{n+1}=b_n\)</math>
<math>\((a_n)\)</math> et <math>\((b_n)\)</math> convergent vers une même limite l. ( ça se démontre grâce au théorème des suites adjacentes ) et <math>\([a_n,b_n]\)</math> contient un nombre infini de terme de (sin(n)) pour tout n.

Ensuite on construit la fonction <math>\(\phi\)</math> :
<math>\(\phi(0)=0\)</math>
Soit <math>\(n\in N\)</math>.
<math>\(\phi(n+1)=min(\{p\in N / p>\phi(n)\ et\ a_{n+1}\leq sin(p) \leq b_{n+1} \})\)</math> ( ce minimum existe car <math>\([a_{n+1},b_{n+1}]\)</math> contient un nombre infini de terme de (sin(n)) )

<math>\(\forall n \in N a_n \leq sin(\phi(n)) \leq b_n\)</math> Donc <math>\((sin(\phi(n)))\)</math> converge vers l.

edit: je pense qu'on doit pouvoir démontrer que tout voisinage de -1 dans [-1,1] rencontre {sin(n) ; n entier naturel } en un nombre infini de points mais ça doit être assez difficile à démontrer. Même si intuitivement c'est assez clair : vu la courbe de sin, la suite (sin(n)) va se rapprocher aussi près qu'on veut de -1.
Il faudrait le démontrer mais bon en l'admettant, on va se retrouver à chaque fois dans le premier cas au moment de la construction de (an) et (bn) et on va donc avoir an=-1 pour tout n et on va pouvoir calculer bn.
Ce qui permet ( avec un programme par exemple ) de calculer phi et donc de calculer les termes de cette suite ( qui va converger vers -1 )