Bonjour tout le monde,

Je profite de ce nouveau forum pour poser une question qui à déjà été posée sur l'ancien mais auquel je n'ai pas obtenu de réponse satisfaisante.

Voilà, je voudrais calculer l'équation d'une droite dans un repère 3d avec seulement 2 points.
Sur l'ancien forum, il parlait d'un vecteur. Le problème, c'est que je ne sais pas comment obtenir celui-ci. J'ai même lu sur d'autre forum, que les droites dans un monde 3d n'avait pas d'équation, ça me paraît un peu bizarre... Je me trompe???

Donc si vous pouviez m'expliquer tout ceci étape par étape et surtout très clairement, ça m'aiderais beaucoup!

Merci d'avance.

Tu n'as pas UNE équation pour une droite en 3D. Une seule équation du type : ax+by+cz+d=0 caractérise un plan dans un espace en 3D.

Pour caractériser une droite, il te faut au moins 2 équations (une droite est l'intersection de 2 plans !). Après, déterminer ces équations à partir de 2 points est surement possible, mais ne me semble pas des plus aisé(d'autant que ces équations ne sont pas uniques). Que veux tu faire de ces équations une fois que tu les auras ?
Connaître explicitement ces équations n'est peut-être pas indispensable !

En 3D, il est vrai que les droites n'ont pas d'équation, dans le sens où elles n'ont pas d'équation du type <math>\(ax+by+cz=d\)</math> car ce sont les plans qui ont des équations de ce type.

Par contre, il existe plusieurs moyen de décrite une droite en 3D, parmi lesquelles :
<math>\(\left\{\begin{array}{ccc} x &=& x_0+ta \\ y &=& y_0+tb \\ z &=& z_0+tc\end{array}, t\in\mathbb{R}\)</math>
et
<math>\(\left\{\begin{array}{ccc} ax+by+cz&=&d \\ a'x+b'y+c'z&=&d' \end{array}\)</math>

La première vient du fait qu'une droite passe par un point <math>\(A(x_0,y_0,z_0)\)</math> et "suit une direction" symbolisée par un vecteur <math>\(\vec{u} (a,b,c)\)</math>. Ce qui se traduit par : l'ensemble des points <math>\(M\)</math> appartenant à la droite passant par <math>\(A\)</math> et de direction <math>\(\vec{u}\)</math> est l'ensemble des points <math>\(M\)</math> tels que <math>\(\vec{OM} = \vec{OA}+t\vec{u}\)</math> où <math>\(t\in\mathbb{R}\)</math>. En passant aux coordonnées, on retrouve bien ce que j'ai mis plus haut.
Par exemple, si tu as deux points <math>\(A(x_a,y_a,z_a)\)</math> et <math>\(B(x_b,y_b,z_b)\)</math>, alors un vecteur directeur est <math>\(\vec{AB}(x_b-x_a,y_b-y_a,z_b-z_a)\)</math> et donc une équation paramétrique de la droite est (remarque : on pourrait tomber sur le même résultat en disant que la droite <math>\((AB)\)</math> et l'ensemble des barycentres de <math>\(A\)</math> et <math>\(B\)</math>):
<math>\(\left\{\begin{array}{ccc} x &=& x_a+t(x_b-x_a) \\ y &=& y_a+t(y_b-y_a) \\ z &=& z_a+t(z_b-z_a)\end{array}, t\in\mathbb{R}\)</math>

La seconde vient du fait qu'une droite peut aussi être l'intersection de deux plans, comme il n'y a pas unicité de ces deux plans (il y a une infinité de plans contenant une droite donnée), cette représentation n'est pas du tout unique (pas plus que la précédente d'ailleurs).
La difficulté, c'est que si tu as seulement 2 points, il n'est pas simple (du moins je vois pas de méthode directe) pour trouver l'équation de deux plans contenant tous les deux tes deux points. La première représentation semble donc être celle qui conviendrait le mieux à ta situation.

Edit : après réflexion, un méthode possible (peut-être un peu brutale) serait de dire que si un plan contient tes deux points <math>\(A(x_a,y_a,z_a)\)</math> et <math>\(B(x_b, y_b, z_b)\)</math>, alors son équation vérifie :
<math>\(\left\{\begin{array}{ccc} ax_a+by_a+cz_a &=& d \\ ax_b+by_b+cz_b &=& d \end{array}\)</math>
où les inconnues sont <math>\(a\)</math>, <math>\(b\)</math>, <math>\(c\)</math> et <math>\(d\)</math>.
2 équations, 4 inconnues, ça fait une infinité de solutions possibles, tu en prends deux et c'est bon .

Pour reprendre la formule du dessus, une droite dans l'espace peut être défini par le système suivant :
<math>\(\left\{\begin{array}{ccc} x &=& x_0+ta \\ y &=& y_0+tb \\ z &=& z_0+tc\end{array}, t\in\mathbb{R}\)</math>
ou X, Y, et Z sont les coordonnées cartésiennes des points appartenant à la droite.

Ainsi tu as besoin de 2 choses : les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite, et un point appartenant à cette droite.



Un petit exemple pour comprendre !
Soit A(1,3,4) et B(2,1,0)

- On calcule un vecteur directeur de la droite AB : par exemple le vecteur BA(-1,2,4).
- On remplace ta, tb, tc par les coordonnée du vecteur directeur avec T en variable.
- On remplace Xo, Yo, et Zo par les coordonnées d'un point quelconque de la droite, prenons B.

On obtient :

<math>\((AB)<=>\left\{\begin{array}{ccc} x &=& -1t+2 \\ y &=& 2t+1 \\ z &=& 4t+0\end{array}, t\in\mathbb{R}\)</math>

Il te suffit de remplacer la variable t par n'importe quel nombre et tu obtiendras un point appartenant à la droite.

Pas mal! En plus je crois que j'ai compris!
Faudra que j'essai. En attendant je met le sujet comme résolu.