Pour des études archéologiques, nous devons estimé les volumes des objets d'étude (poterie, fosse, silo à grain...). Confronté au problème du calcul de volume de formes quelconques mais à symétrie axiale, est-il possible -facilement !- de définir cette valeur en fonction de la surface de sa coupe axiale, donnée facilement estimable avec les logiciels graphiques ?
Grossièrement, les objets sont des cylindres. Le volume d'un cylindre est la surface de sa section multipliée par sa hauteur. Le principe est le même pour toute surface axiale, comme une ellipse ou un rectangle centré sur l'axe. Là où ça se complique est lorsqu'on a des cônes et des cônes tronqués, ou des pyramides.
Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
Ces objets sont assez loin du cylindre, même si certaines parties peuvent être cylindriques. Ils sont de forme complexe cumulant sphère, cylindre, ovoïde, cône et cône tronqué... On peut les décomposer en formes simples mais le calcul du volume devient fastidieux surtout pour un grand nombre d'objets de formes différentes. La superficie de la coupe axiale devrait avoir un rapport avec le volume total car cette surface est identique sur 360 ° ???
Je vais te donner l'exemple simple que je citais. C'est-à-dire un cône tronqué. Si tu prend la superficie en bas du cône là où elle est la plus grande, ton volume sera trop grand. Si tu la prend en haut du cône tronqué, la superficie sera plus petite et le volume sera trop petit. Il n'existe pas de recette magique pour trouver le volume d'un objet ayant une forme complexe. Et en archéologie, il n'est en général pas question de détériorer l'objet en le remplissant d'eau, par exemple, en autant que l'eau puisse y rester. On pourrait imaginer des techniques très complexes ne pouvant pas être utilisées sur le terrain comme des IRM (Imagerie par Résonnance Magnétique). On pourrait écrire des logiciels qui calculeraient le volume d'après les coordonnées de la surface.
Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
Le calcul du volume ne peut donc pas s'appréhender à partir de la surface de la coupe axiale et les objets complexes nécessiterait des techniques complexes pour connaitre leur volume. On va donc continuer à les diviser en formes simples dont on peut calculer le volume plus facilement puis à les cumuler !
Si je relis la première question, tes objets possèdent une symétrie de révolution autour d'un axe D et tu as accès à une mesure de la surface d'une coupe selon un plan contenant l'axe ? Ou est-ce selon un plan perpendiculaire à l'axe ?
Si c'est le deuxième cas, comme l'a compris je crois PierrotLeFou, effectivement, il faudrait avoir toutes les coupes pour pouvoir avoir accès au volume - ou au moins des coupes à intervalles relativement petits pour approximer chaque "morceau" par un cylindre (ou une portion de cône pour être plus précis) et connaître ainsi une bonne approximation du volume. Si tu peux avoir ces informations, pas besoin de lourd logiciel : un tableau excel et une petite formule pas trop complexe et c'est gagné !
Mais si c'est le premier cas (j'ai du mal à vraiment saisir si c'est l'un ou l'autre à partir de tes messages), il suffit de multiplier ta mesure de surface par \(\pi\) pour avoir le résultat. Mais bon, je suppose que ce n'est pas ce cas simple qui te pose problème !
Il y a un truc que j'ai trouvé, il s'agit du calcul du «volume de révolution» dite par la méthode des disques. Si je fais une coupe en longueur du volume au niveau de l'axe, j'obtiens la "silhouette" de l'objet. Ce la représente une surface. Supposons que je pourrais diviser l'objet en une multitude de disques très minces. Je rappelle que de faire tourner un rectangle autour d'un de ses côtés donne un cylindre. Dans ce cas, la hauteur du cylindre serait minime et la grande dimension (largeur) du rectangle représente le rayon du cylindre. On pourrait calculer le volume d'un tel cylindre. Maintenant, si je suppose que la silhouette de l'objet est fait de multiples rectangles de largeurs variables et de très faible hauteur. Je peux calculer la surface totale de tous ces rectangles, ce qui revient à faire l'intégrale de la surface. Pour un rectangle, j'aurai: surface S = h * r (largeur = rayon) Le volume engendré sera (S/h)²*PI * h Si la surface totale de la silhouette (je prend la moitié d'un côté de l'axe) est S, j'aurai: V = (S/h)²*PI*h ou S²*PI/h Si on arrive à dessiner sur un carton, par exemple, le contour de l'objet, on devrait pouvoir calculer le volume de cette façon à partir de sa surface. Tu pourrais faire des recherches sur le sujet «volumes de révolution» pour plus de détails.
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Pour répondre au sujet de la coupe, il s'agit de coupes de profil passant par l'axe de révolution, soit la hauteur de l'objet (et non en perpendiculaire à l'axe). Cette silhouette reprise sur un logiciel de dessin permet d'obtenir facilement la surface.
Effectivement, il est concevable d'imaginer de diviser l'objet en rectangles très fins qui représentent la forme globale plus complexe.
Je vais effectivement rechercher de l'info sur les "volumes de révolution" mais déjà je retrouve espoir pour ce calcul !!!
En tout cas, je remercie ENORMEMENT Sylpro et surtout Pierrot pas si fou que ça...
Une telle formule permettrait de faciliter considérablement nos calculs à partir de formes simples et toujours assez approximatifs ! Nous allons tester ce calcul, et si le résultat est concluant, cette solution profitera à beaucoup de chercheurs confrontés à ce problème...
Je comprends bien cette démarche résultant sur la formule Pi h r² mais mon problème est de trouver le volume total à partir de la surface de la section passant par l'axe !
Je ne voudrais pas avoir obligation de définir l'épaisseur de chaque disque si possible ...
Le problème serait de trouver la circonférence du centre de gravité, ce qui n'est pas évident à trouver pour un objet quelconque. J'ai fait un petit test en Python avec un cône de rayon 10 et de hauteur 50. Je divise la hauteur en un million de petits disques. Voici ce que ça donne: - from math import * n=1000000 v=0 r=10 h=50 for i in range(n): v += pi*(r*i/n)**2*h/n print(round(v,2)) # valeur calculée print(round(pi*r**2*h/3,2)) # valeur théorique - 5235.98 5235.99
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J'ai vu passer des messages 'douteux' ( ou des messages que j'ai mal compris)
C'est très gentil tbc92 de ne pas citer nommément ceux qui disent de grosses bêtises J'ai dû trop boire avant de rédiger ma réponse, pourtant tout le monde sait que pour obtenir le volume d'une sphère il suffit de multiplier par \(\pi\) la surface d'un disque équatoriale d'où \(\frac{4}{3}\pi R^3 = \pi^2R^2\); c'est bien connu
Bref, je crois qu'on s'accorde tous sur le découpage "à la Riemann" du volume en petits cylindres (ou cônes pour plus de précision).
@MartinPhil : La surface de la coupe ne permet pas de déterminer au volume mais si tu as accès à la mesure de cette surface, je pense que tu as également accès aux "largeurs" de la coupe ce qui te permettra de réaliser un calcul du même type que celui effectué par Pierrot dans son dernier post.
Effectivement, le théorème de Guldin nécessite de définir le centre de gravité ce qui n'est pas aisé dans notre cas...
Concernant la comparaison des calculs réel et théorique du volume, je trouve ce résultat particulièrement intéressant même s'il reste un écart; celui-ci étant peu important semble t'il et pourrait être considéré négligeable pour notre objectif.
Par contre, peu familiarisé aux maths, j'ai un peu de difficulté à comprendre la formule utilisée a priori différente de celle proposée au départ (S²*PI/h). De plus, le test en Python est pour moi une grande inconnue !
Il y avait effectivement cette multiplication par pi ... mais pas que ça (et a priori pas que dans ton message).
Oui, dans le cas d'une sphère, ça marche. Mais dans le cas d'un cylindre, ou d'un cône, ça ne marche plus.
Martinphil :
Il n'y a pas de recette miracle. Si tu es prêt à faire certaines impasses, et à accepter des approximations, tu peux t'en sortir simplement.
Tu prends un échantillon de récipients ; pour tous ces récipients, tu calcules le volume et la surface d'une section.
Et pour ces récipients, tu calcules le ratio : Volume / (Surface^(3/2)) ;
Si tous les volumes ont des formes assez proches (amphore), tu devrais trouver que ce ratio varie assez peu. Et du coup, ça te donne une formule approximative pour trouver le volume à partir de la surface.
Sinon, si tu es capable de trouver la surface de la section, tu es peut-être capable de trouver d'autres indicateurs. Et dans ce cas, ces indicateurs pourront aider à faire ce calcul.
Calculez le ratio Volume-Surface peut être une solution pour des formes proches mais j'aurais souhaité une formule du volume en fonction de la surface pour des solides de révolution de formes variées...
Si je prend une sphère dont le volume est 4*PI*r³/3 et la surface de la section est PI*r² Si je double la surface, il faut que le rayon soit multiplié par sqrt(2). Le volume sera multiplié par sqrt(2)³, ce qui n'est pas égal à 2.
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Je crois comprendre... mais en tout cas, je vous fais entièrement confiance et je vous remercie pour votre réflexion !
Je pensais à tord que la rotation de la surface sur un tour complet autour de l'axe pouvait se calculer...
En fait, ce n'est définitivement pas possible.
Merci encore à tous pour vos interventions.
calcul du volume d'une forme à symétrie axiale
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