Bonjour à tous,
j'aimerais vous demander comment marche le calcul intégral. J'aimerais comprendre des formules comme celle-ci <math>\(\int_0^x dt^2\)</math>, par exemple.
Merci d'avance.
Signé :jeuxvideos44.

Bonjour,
la formulation est bizzare mais
<math>\(\int_{0}^{x}dt=x\)</math>
<math>\(\int_{0}^{x}d(t^2)\)</math>
en posant <math>\(y=t^2\)</math>
ona
<math>\(\int_{0}^{\sqrt{x}}dy=\sqrt{x}\)</math>
Autrement <math>\((dt)^2\)</math> ne veut rien dire...

J'ai mis un peu au hasard. Je ne connais pas le calcul intégral

Ah quel est ton niveau scolaire ? Je peux te faire un topo !

...Bah, je suis en cinquième et en plus j'ai sauté une classe, donc je suis censé être en sixième, mais envoie les infos !

Tiens on est deux comme ça ... Mais bon c'est pas pour cela que tu va comprendre les intégrales (Que l'on voit en Terminale S)... Sais-tu ce qu'est une fonction (Ce que l'on voit plus ou moins en troisième) ?

Faudrait ptete aussi savoir calculer une primitive... T 'as encore du chemin à parcourir

J'aime pas beaucoup me faire de la pub de cette manière, mais je pense que mon tuto peut t'aider :
http://www.siteduzero.com/tutoriel-3-1 [...] integrer.html
Il explique de façon très intuitive, sans rentrer dans les détails ce qu'est une intégrale, et une façon de les approcher numériquement.

Il faut cependant maîtriser la notion de fonction pour bien tout comprendre.

@kevin : nullement besoin de savoir calculer une primitive pour savoir ce qu'est une intégrale... Un élève de seconde "standard" peut sans problème comprendre le concept.

Voyons si la pub va m'être utile... Enfin je verrais ça demain moi

@sebsheep "un eleve de seconde standard" ... il est en cinquième...

Moi pour info je vois pas comment tu peux calculer une intégrale sans faire de primitive auparavant

exemple: calculer l 'intégrale au borne 2 et 0 de x²+2x
Primitive(F) = x³/3 + x²
Là seulement je fais F(2) - F(0) ... et j 'ai mon intégrale...

<quote>@kevin : nullement besoin de savoir calculer une primitive pour savoir ce qu'est une intégrale... Un élève de seconde "standard" peut sans problème comprendre le concept. </quote>

Ton élève standard de seconde sera le comprendre peut-être mais pas le résoudre d 'après moi... Imagine lui qui n 'est qu 'en cinquième y pourra même pas le comprendre ...

Je vais essayer de t'expliquer physiquement ce qu'est une intégrale, à partir des notions de vitesse et distance:
Si tu roules à une vitesse <math>\(v\)</math> pendant un temps <math>\(t\)</math>, tu sais que la distance parcourue est:
Maintenant si tu roules à une vitesse <math>\(v_1\)</math> pendant un intervalle de temps <math>\(\Delta t_1\)</math> et ensuite à la vitesse <math>\(v_2\)</math> pendant un temps <math>\(\Delta t_2\)</math>, quelle est la distance parcourue? La distance sera égale à:


Mais cette formule ne s'applique que si ta vitesse est constante. Maintenant, imaginons une pierre qui tombe. Son mouvement n'est pas à vitesse constante, il est accéléré. En fait, sa vitesse est proportionnelle au temps de chute: au bout d'une seconde, sa vitesse est <math>\(v_1\)</math>, au bout de 2s sa vitesse est <math>\(2v_1\)</math>, au bout de 3s, <math>\(3v_1\)</math> ...
On peut représenter la vitesse en fonction du temps par la fonction
avec <math>\(a\)</math> l'accélération (qui est constante)
Maintenant, quelle est la distance parcourue par la pierre? On ne peut plus utiliser la formule plus haut.
Eh bien, on va tricher un peu: considérons que la vitesse ne croît plus uniformément, mais par palier. Nous allons donc diviser le temps en petits morceaux et considérer que sur chaque morceau, la vitesse est constante, comme sur le schéma ci-dessous (courbe jaune):



On divise donc le temps en morceau égaux, disons de 0.5s chacun. Sur cet intervalle, on considère une vitesse constante, puis, au bout des 0.5s, on considère que la vitesse "saute" à la vitesse qu'elle atteint réellement au bout de ce temps-là, puis elle reste à nouveau constante et ainsi de suite...
On peut maintenant calculer la distance parcourue pendant chacun de ces intervalles de temps:

• de 0 à 0.5s: la vitesse vaut 0, donc la distance parcourue est nulle.
• de 0.5s à 1s: la vitesse vaut 1, donc la distance parcourue vaut 0.5 * 1
• de 1s à 1.5s: la vitesse vaut 2, donc la distance parcourue vaut 0.5 * 2

et ainsi de suite...

Comment peut-on connaître la distance totale? Tout simplement en additionnant toutes les distances obtenues.
Si on appelle <math>\(\Delta t\)</math> notre intervalle de temps, et <math>\(v_0\)</math> , <math>\(v_1\)</math> ,... les vitesses à chaque intervalle de temps, on a:

<math>\(d = v_0 \times \Delta t + v_1 \times \Delta t + v_2 \times \Delta t + ... + v_n \times \Delta t\)</math>
<math>\(d = (v_0 + v_1 + v_2 + ...) \times \Delta t\)</math>

que l'on peut écrie sous la forme:

(c'est une notation pour simplifier l'écriture d'une somme de plusieurs termes. Elle signifie : somme pour i allant de 0 à n de tous les <math>\(v_i\)</math>.)
Nous nous en doutons, la distance que nous obtenons est inférieure à la distance réellement parcourue, car on a considéré des vitesses toujours inférieures à la vitesse réelle.
Comment peut-on améliorer la précision de notre calcul? Tout simplement en réduisant <math>\(\Delta t\)</math>. En effet, on peut remarquer que si <math>\(\Delta t\)</math> diminue, on augmente la précision du calcul, vu que les vitesses considérées seront plus proches de la vitesse réelle.

En fait, on va considérer des intervalles de temps infiniment petits. On va utiliser ce qu'on appelle la notation différentielle (inventée par Leibniz):

• On note cet intervalle infiniment petit <math>\(dt\)</math> (au lieu de <math>\(\Delta t\)</math>).
• Pour noter la somme, on va utiliser ce symbole: <math>\(\int\)</math>. Il s'agit en fait d'un "s long", qui était utilisé à la place de notre "s" en ancien français.
• Et pour chaque intervalle, que vaut <math>\(v_i\)</math>? Eh bien, pour tout instant <math>\(t\)</math>, il vaut <math>\(v(t)\)</math>.

Notre formule de distance devient donc:

<math>\(d = \int_0^{t_n}v(t) dt\)</math>

Et c'est ce qu'on appelle une intégrale. (Ce mot a été inventé par Jacques Bernouilli: cette formule permet de calculer la somme de tous les <math>\(v(t)\)</math>, donc de l'intégralité des vitesses atteintes successivement par la pierre)

Le lien avec les surfaces

Remarquons une chose: que représentent toutes ces distances que l'on additionne?



On voit que chaque distance calculée correspond graphiquement à l'aire du rectangle correspondant.

Que se passe-t-il alors si on réduit <math>\(\Delta t\)</math> ? L'aire calculée devient égale à l'aire de la surface sous la courbe de la vitesse, entre 0 et l'instant considéré.
Voilà un résultat fondamental:

L'intégrale d'une fonction entre deux points est l'aire de la surface sous la courbe représentant cette fonction, entre ces deux points.

Nous voyons que l'aire sous la courbe entre <math>\(0\)</math> et <math>\(t\)</math> évolue en fonction de t. Cette fonction, si on arrive à trouver son expression, est appelée primitive de <math>\(f(t)\)</math>. On la note <math>\(F(t)\)</math>, avec un grand <math>\(F\)</math>.

Cas particulier:

Dans notre cas, on peut calculer cette primitive. Elle représente l'aire sous la courbe, or la surface sous la courbe de la vitesse est un triangle rectangle, avec une base égale à <math>\(t\)</math> et une hauteur égale à <math>\(v(t)=at\)</math>.
Son aire vaut donc:
<math>\(A(t) = \frac {1} {2} v(t)\times t\)</math>

<math>\(A(t) = \frac {1} {2} at^2\)</math>

On a donc:
Si <math>\(v(t)=at\)</math>, alors <math>\(d(t)=\frac {1} {2} at^2\)</math>
nous avons donc réussi à calculer une primitive.
Si <math>\(f(x) = ax\)</math>, alors <math>\(F(x) = \frac {1} {2} ax^2\)</math>

(En passant, on a aussi obtenu un résultat physique: la distance parcourue par un objet en chute libre est proportionnelle au carré du temps de chute.)

Calcul de primitive

Là on a pu calculer l'intégrale car on connaissait la formule donnant l'aire sous la courbe, mais généralement c'est l'inverse: on utilise plutôt le calcul intégral pour trouver l'aire sous une courbe.
Et malheureusement, trouver une primitive n'est pas évident. Il faut d'abord connaitre les dérivées (ce qu'on note <math>\(\frac {dy} {dx}\)</math> ). La dérivée d'une fonction est égale à la pente de la tangente à la courbe de cette fonction (petit post sur les dérivées).
Pour la dérivée, on a une formule pour la trouver (à partir d'une fonction f, on peut calculer sa dérivée <math>\(\frac {df} {dx}\)</math>). Mais pour l'intégrale, on n'a pas de formule.
Sauf qu'on sait que dérivée et intégrale sont les opérations inverses l'une de l'autre. C'est à dire que si <math>\(F\)</math> est une primitive de <math>\(f\)</math>, alors <math>\(f\)</math> est la dérivée de <math>\(F\)</math> .
Les différentes techniques pour calculer l'intégrale d'une fonction consistent donc à mettre cette fonction sous une forme telle qu'on puisse reconnaitre la dérivée d'une autre fonction.