Bonsoir,

J'ai quelques formules de calcul numérique d'une intégrale, mais je ne comprends pas comment les utiliser.
Pourriez-vous me donner un exemple avec la méthode de Simpson ?

Merci d'avance !

La méthode de Simpson dit qu'on peut approximer la valeur de l'intégrale d'un fonction <math>\(f\)</math> entre <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> par <math>\(I = \frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)\)</math>. Il suffit juste d'appliquer la formule.

Par exemple en prenant <math>\(f(x)=\frac{1}{x}\)</math> et <math>\((a,b)=(1,3)\)</math> on a :

• <math>\(\frac{b-a}{6}=\frac{1}{3}\)</math> ;
• <math>\(f(a)=1\)</math> ;
• <math>\(f(b)= \frac{1}{3}\)</math> ;
• <math>\(\frac{a+b}{2}=2\)</math>, donc <math>\(f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{1}{2}\)</math>.

Au final, on en déduit <math>\(I=\frac{1}{3}\left(1+4\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=1+\frac{1}{9}=1,111...\)</math>

La vraie valeur de cette intégrale étant <math>\(\ln(3)-\ln(1)=\ln(3)\approx 1,0986\)</math>


Édit : bien sur en réalité on n'applique pas la formule une seule fois sur tout l'intervalle, si l'intervalle est trop grand, on s'éloigner un peu trop de la vrai fonction (par exemple, si dans l'exemple précédent, on choisit <math>\(b=7\)</math> au lieu de <math>\(b=3\)</math>, on trouve <math>\(I\approx 2,143\)</math> alors que la valeur réelle de l'intégrale est d'environ <math>\(1,946\)</math>). Ce que l'on fait, c'est qu'on va découper notre intervalle <math>\([a,b]\)</math> en plusieurs intervalles (souvent de même taille, mais ce n'est pas obligatoire) <math>\([a_n,b_n]\)</math> avec <math>\(a_0=a\)</math>, <math>\(a_{n+1}=b_n\)</math> et <math>\(b_{n_{max}}=b\)</math>, puis on applique la formule comme je l'ai fait plus haut sur chacun de ces intervalles. Évidemment, tout ça ne se fait habituellement pas à la main.

Merci beaucoup pour ton explication !