salut, je suis tombé sur un exercice par hasard et je ne sais comment l abordé .le voici : calculer la somme : <math>\(S={444...4}+111...1-666....6\)</math> ou <math>\(44...4(2nchiffre)\)</math> et <math>\(66...6(n+1chiffre)\)</math> et <math>\(111...11(n chiffre)\)</math> . mon idée est de décomposé <math>\(444...4=4(111...1)=(6-2)(111....1)=666...6-2(111..11)\)</math> puis simplifier mais j y arrive pas . vous pouvez m aider merci d avance .

Je te conseille d'écrire ta somme sous la forme suivante :
<math>\(S=4 \sum_{k = 0}^{2n} 10^k + \sum_{k=0}^{n+1} 10^k - 6 \sum_{k=0}^n 10^k\)</math>

A partir de là, on peut essayer de regrouper certains termes :
<math>\(S=4 \sum_{k=n+1}^{2n} 10^k + 10^{n+1} + \sum_{k=0}^n (4+1-6)10^k\)</math>
soit <math>\(S=4 \sum_{k=n+1}^{2n} 10^k + 10^{n+1} - \sum_{k=0}^n 10^k\)</math>.

En utilisant la propriété qui donne la somme des termes d'une suite géométrique, on devrait arriver au résultat.

ah donc :<math>\(11...111(nchiffres)=\sum_{k=o}^n10^k\)</math> ?

Je me suis trompée dans les indices. La somme finale est plutôt :
<math>\(S=4 \sum_{k = 0}^{2n -1} 10^k + \sum_{k=0}^{n} 10^k - 6 \sum_{k=0}^{n-1} 10^k\)</math>.

Et effectivement, si tu réécris la somme autrement : <math>\(\underbrace{111...11}_{n chiffres} = \sum_{k=0}^{n-1} 10^k = 10^0 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^{n-2}+10^{n-1}=1 + 10 + 100 + ... + \underbrace{100...0}_{(n-2) chiffres}+\underbrace{100...00}_{(n-1) chiffres}\)</math>

oui je comprend merci . il me manquait la transformation de 11...11 tu me la apprise merci encore .