Bonjour tout le monde!, j'ai du mal à calculer la limite en + à l'infinie suivante :
<math>\(lim (x(x + 1/x)^x - e.x^2.ln(1 + 1/x))\)</math>
Quelqu'un peut m'aider?

Le 'e' dans l'expression, c'est le nombre d'Euler, je suppose ? Tu n'as pas voulu écrire quelque chose avec une exponentielle ? C'est juste pour être sûre avant de faire des calculs inutiles.

Pour écrire des formules jolies avec le zcode, cf. ici

salut t où est à quel niveau?

Citation : Bendu85

salut t où est à quel niveau?

D'après un autre de ses topics, il est à l'école normale supérieure.
Un développement limité devrait te permettre d'arriver au résultat à ce moment-là.

Enfin si la fonction est bien celle écrite et qu'il a dépassé le bac+2, il a de sérieuses lacunes en maths :

x(x+1/x)^x > x^(x+1)
x²ln(1+1/x) < x²

=> ça tend grossièrement vers +oo

Bonjour
Avant d'envisager tel Flo0oder les lacunes mathématiques du demandeur, ...je me demande s'il n'y a pas une simple erreur de frappe dans le premier terme où il pourrait plutôt s'agir de <math>\(\[ (1+\dfrac{1}{x})^{x} \]\)</math>. Le premier terme est alors au premier ordre équivalent à e.x à l'infini et on voit facilement que le second aussi , on a donc une indétermination de type <math>\(\[ +\infty -\infty \]\)</math> pas strictement immédiate.
Toutefois comme le dit Gr3n@d1n3 , et sauf imprévu ( je n'ai pas calculé), un développement limité à un rang approprié devrait lever l'indétermination.

Citation : Gr3n@d1n3

Pour écrire des formules jolies avec le zcode, cf. ici

Effectivement :
<math>\(\lim_{x \to +\infty} x\left( x + \frac{1}{x}\right)^x - e\times x^2\times \ln\left(1 +\frac{1}{x}\right)\)</math>

C'est pas plus clair maintenant ?

<math>\(\lim_{x \to +\infty} \left[x\left( x + \frac{1}{x}\right)^x - e\times x^2\times \ln\left(1 +\frac{1}{x}\right) \right]\)</math>

<math>\(\begin{cases} \lim_{x \to +\infty} \left[x\left( x + \frac{1}{x}\right)^x\right] = \lim_{x \to +\infty} \left[x\left( \frac{x^2 + 1}{x}\right)^x \right] = +\infty \\ \lim_{x \to +\infty} - \left[e\times x^2\times \ln\left(1 +\frac{1}{x}\right) \right] = \lim_{x \to +\infty} \left[ - e\times x^2\times \ln\left(1 + 0\right) \right]) = 0 \end{cases}\)</math>

d'où
<math>\(\lim_{x \to +\infty} \left[x\left( x + \frac{1}{x}\right)^x - e\times x^2\times \ln\left(1 +\frac{1}{x}\right) \right] = +\infty\)</math>

C'est bon, non ?

Ta deuxième limite est fausse, car c'est une forme indéterminée du type <math>\(+\infty \times 0\)</math>.

Exact, pour lever l’indétermination on fait comment ? On passe le tout (la deuxieme limite) en exponentielle ?

Bonjour,

Personnellement, j'ai étudié la limite en supposant, comme déjà dit, une erreur sur le premier terme (1+1/x) et non x+1/x. Cela me paraît plus logique une indéterminée de type <math>\(\[ +\infty -\infty \]\)</math> et cohétent avec la structure de l'expression ...sinon pourquoi le e devant le second terme?
(...le demandeur tranchera!)
J'écris
<math>\(\[ (1+1/x)^{x}=e^{xln(1+1/x)} \]\)</math>
J'utilise par ailleurs le développement :
<math>\(\[ xln(1+1/x)\sim 1-1/2x+1/3x^{2}- ... \]\)</math>
Aprés un calcul un peu laborieux utilisant des développements de fonctions de fonction, (que je n'ai pas le courage de taper ...), je trouve que l'expression est asymptotiquement équivalente à <math>\(\[ \sim \dfrac{e}{8x} \]\)</math>. D'où une limite égale à 0.
Mon exercice calculatoire reste à vérifier mais un calcul informatique rapide semble coller avec ces deux résultats.( à x=200, l'asymptote colle à moins de 1 pour 1000)

Pour la deuxième limite que tu souhaites calculer, un développement limité à l'ordre 2 donne :
<math>\(e x^2 ln \left( 1+\frac{1}{x} \right) = e x^2 \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + o \left( \frac{1}{x^2} \right) \right) = e \left( x - \frac{1}{2x} + o \left( \frac{1}{x} \right) \right)\)</math> qui tend vers <math>\(+\infty\)</math> quand x tend vers <math>\(+\infty\)</math>