Salut,

comment calculer :

une balle de 3 kg commence à tomber avec une gravité de 10 mètres par seconde carré, combien de mètres aura-t-elle parcouru au bout de 8 secondes?



Merci

Bonjour,
comme d'habitude : bilan des forces, puis équations du mouvement, et après c'est gagné.
Tu as quel niveau ?

zéro
est-ce que tu parles d'une de ces équations? http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_du_mouvement

peux tu m'aiguiller?

Bonsoir,

Pour résoudre ce problème, tu utilises la deuxième loi de Newton ou relation fondamentale de la dynamique.

Cette relation fait intervenir la masse de ton objet (que tu connais), son accélération (que tu cherches pour pouvoir en déduire la vitesse, puis la distance parcourue) et les différentes forces qui s'appliquent sur ton objet (le fameux bilan des forces).

Si le seul effet que tu considères est la pesanteur, il s'agit d'une chute libre. Dans ce cas, tu as juste à appliquer la relation fondamentale de la dynamique avec la force de pesanteur.

niveau zero ca veut dire ?

Une derivée, une integrale ca te parle un peu, beaucoup pas du tous ?

Sinon ton problème est presque resolu dans ton lien

pas du tout je suis archi débutant, section grande ou petite maternelle, à voir quand est-ce qu'on apprend à calculer les cubes et les diviser par 2.

merci pour le lien:



donc 1/ 3kg
le "E" ...?
les forces sont 10mètres / seconde, comment traduire ça?

merci de votre aide

Salut, ton problème est un problème de cinématique, c'est de la chute libre. Je ne vois pas pourquoi on devrait faire appelle à la dynamique (les forces sont utilisées), qu'on lâche un objet de 3kg ou de 100kg les deux objets tombent en même temps.

Donc t'utilises l'équation :

<math>\(x = {1 \over 2} gt^2\)</math> (tu devrais la connaître normalement, sinon je peux t'en dire plus si cela t'intéresses).

Numériquement : <math>\(x = {1 \over 2} \cdot 10\cdot 8^2 = 320m\)</math>

Ba voilà c'est tout

Autre chose :

Citation : Erroll

les forces sont 10mètres / seconde

C'est faux :

• Une vitesse est en [m/s] ;
• tandis que les forces sont en [N] (Newton) = [<math>\(kg\cdot m/s^2\)</math>] (que tu trouves par analyse dimensionnelle) ;
• et une accélération (g par exemple) est en [<math>\(m/s^2\)</math>].

Et pour dire encore quelque chose , ici le <math>\(\Sigma F\)</math> est la somme des forces (<math>\(F_1 + F_2 + ...\)</math>).

Bon allez, pour préciser un peu :

On a :
<math>\(m\cdot\vec{a}(t) = \sum{\vec{F}_i}(t)\)</math>

(<math>\(\vec{a}\)</math> est l'accélération, <math>\(t\)</math> est le temps, <math>\(m\)</math> est la masse, <math>\(\sum{\vec{F}_i}\)</math> est la somme des forces )

Quelles sont les forces qui s'appliquent à ton objet ? Hé bien, il n'y a que la gravité, qui s'exprime de cette manière :
<math>\(\vec{F}(t) = m\cdot{}\vec{g}\)</math>


On a alors :

<math>\(m\cdot\vec{a}(t) = m\cdot \vec{g}\)</math>

On simplifie par <math>\(m\)</math> :

<math>\(\vec{a}(t) = \vec{g}\)</math>

Si <math>\((Oz)\)</math> est l'axe vertical, on a même plus précisément :
<math>\(\vec{g} = g\vec{z}\)</math> (où <math>\(\vec{z}\)</math> est un vecteur unitaire vertical)

(et dans ton problème, <math>\(g=10{m.s^{-2}}\)</math>)

Simplifions un peu, en projetant cette équation selon les trois axes <math>\((Ox), (Oy), (Oz)\)</math> :
<math>\(a_x(t) = 0\)</math>
<math>\(a_y(t) = 0\)</math>
<math>\(a_z(t) = g\)</math>

On intègre (<math>\(\vec{v}\)</math> est la vitesse, dont la dérivée est l'accélération) :

<math>\(v_x(t) = \alpha\)</math>
<math>\(v_y(t) = \beta\)</math>
<math>\(v_z(t) = g\cdot{}t+\gamma\)</math>

<math>\(\alpha\)</math>, <math>\(\beta\)</math> et <math>\(\gamma\)</math> sont trois constantes qui dépendent de tes conditions initiales. Or, juste au moment où tu lâches ton objet (<math>\(t=0\)</math>), celui-ci a une vitesse nulle. On a donc :

<math>\(\alpha = v_x(0) = 0\)</math>
<math>\(\beta = v_y(0) = 0\)</math>
<math>\(\gamma = v_z(0) - g\cdot{}0 = 0\)</math>

D'où :
<math>\(v_x(t) = 0\)</math>
<math>\(v_y(t) = 0\)</math>
<math>\(v_z(t) = g\cdot{}t\)</math>

On intègre une nouvelle fois (<math>\(\vec{x}\)</math> est la position, qui est l'intégrale de la vitesse) :

<math>\(x_x(t) = \delta\)</math>
<math>\(x_y(t) = \epsilon\)</math>
<math>\(x_z(t) = \dfrac{1}{2}g\cdot{}t^2+\eta\)</math>

De même que précédemment, si on suppose que l'objet est à la position <math>\((0,0,0)\)</math> à <math>\(t=0\)</math>, on arrive à :

<math>\(x_x(t) = 0\)</math>
<math>\(x_y(t) = 0\)</math>
<math>\(x_z(t) = \dfrac{1}{2}g\cdot{}t^2\)</math>

On observe que l'objet n'a qu'un mouvement vertical (bon, d'accord, on s'en doutait...).
Combien de mètres aura t'il parcouru au bout de 8 secondes ? Tout simplement la distance entre sa position à <math>\(t=8\)</math> et à <math>\(t=0\)</math>.

<math>\(D = x_z(8) - x_z(0) = \dfrac{1}{2}\times{}10\times{}8^2 - \dfrac{1}{2}\times{}10\times{}0^2 = 320m\)</math>

Note au passage qu'ici, on néglige les forces de frottements de l'air. En conséquence, la masse de l'objet n'a aucune influence sur la distance parcourue. Que tu lâches une plume ou une enclume, la distance parcourue sera la même.

Citation : CastorJo

<math>\(x_x(t) = \delta\)</math>
<math>\(x_y(t) = \epsilon\)</math>
<math>\(x_z(t) = \dfrac{1}{2}g\cdot{}t^2+\eta\)</math>

De même que précédemment, si on suppose que l'objet est à la position <math>\((0,0,0)\)</math> à <math>\(t=0\)</math>, on arrive à :

<math>\(x_x(t) = 0\)</math>
<math>\(x_y(t) = 0\)</math>
<math>\(x_z(t) = \dfrac{1}{2}g\cdot{}t^2\)</math>

Salut,
c'est plutôt <math>\(\begin{array}{r}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{array}\)</math>, ou alors il faudrait m'expliquer le sens de tes écritures. Sinon, pourquoi s'embêter à passer par les constantes ? On intègre entre <math>\(\int _{t_0}^{t_k}\)</math> et pas besoin de s'embêter avec des constantes d'intégrations : l'état initial apparait tout seul (ça fait moins sorti du chapeau pour un débutant, je pense). Les bornes sont logiques, on integre entre l'instant que l'on connait : <math>\(t_0\)</math> et l'instant qui nous intéresse, soit un instant <math>\(t_k\)</math> quelconque.

Oui, bon, pour les notations, c'était pour garder un truc un peu cohérent avec le reste, mais au final, c'est vrai que c'est pas très lisible.
M'enfin, tout le monde a compris.

Le coup des intégrales, c'est bien gentil, mais au contraire, je pense que c'est moins intuitif pour un débutant (le débutant n'aime pas les intégrales, c'est quand même bien connu ).
C'était comme ça qu'on m'avait présenté les choses à l'époque, et j'avais trouvé ça limpide.

Faudrait qu'Erroll nous dise s'il a compris.

déjà, un grand merci j'apprécie vraiment votre aide! si je peux vous poser quelques questions :

- si je comprend bien que la vitesse est l'accélération X le temps, ax(t) = g donc vx(t) = g . t , qu'est-ce que veut dire on "intègre" ?

Citation

On intègre (v est la vitesse, dont la dérivée est l'accélération)

(as-tu un site avec tous les symboles pour les afficher?)

- j'ai également lu : la position = vitesse . temps
pourquoi diviser par 2 la gravité et mettre le temps au carré, pour trouver x ?

- pour le grand f avec tk et t0, est-ce juste une question de présentation? les constantes permettent de mettre l'équation dans un contexte c'est bien ça? est-ce qu'on utilise aussi les constantes avec le grand f ? (comment? connaissez-vous des sites pour bien apprendre tout ça? vos explications sont vraiment supers, j'y connaissais rien j'ai l'impression d'avoir compris pas mal de choses peut-être que vous avez des liens vers de bons sites avec des cours et des exercices là-dessus?)

Merci encore

Salut,
en fait, lorsque l'on dit que l'on intègre <math>\(v(t)\)</math>, cela revient à l'écrire mathématiquement :
<math>\(\int v(t)\text dt\)</math>

Le <math>\(\text dt\)</math> signifie que l'on intègre par rapport au temps.

Mais cette intégration sans les bornes (<math>\(t_0\)</math> et <math>\(t_k\)</math>) oblige à rajouter une constante d'intégration (les <math>\(\alpha\)</math>...) (pour des raisons mathématiques). Mais si on utilise des bornes d'intégration, on trouve directement cette constante.

Ensuite, <math>\(v_x(t)\)</math> représente une variation de <math>\(x(t)\)</math>, c'est à dire que <math>\(v_x(t)=\frac{\text dx}{\text dt}\)</math>. Ici, on a <math>\(v_x(t)\)</math> et on veux <math>\(x(t)\)</math>. Pour ce faire, on intègre <math>\(v_x(t)\)</math> :
<math>\(\int_{t_0}^{t_k} v_x(t)=\int_{t_0}^{t_k} \frac{\text dx}{\text dt}\text dt=x(t_k)-x(t_0)=x(t)\)</math>

Là c'est du rapide, mais si tu veux que je détailles (ou quelqu'un d'autre), n'hésites pas !

merci

- que représente dx :



si : x = v . dt
v = x / dt
que réprésente dx ? dérivée de x ? (dérivée de x ne serait pas justement la vitesse?)

- sinon, pour l'exemple d'avant, pourquoi a-t-on mis 1/2 de g ? (de ce que je comprend, on doit multiplier "g . t" par le temps t, mais ensuite ce 1/2...? ) en passant de :



à :


merci encore

HUm en fait ce sont des notions de derivée et d'integrale qui font intervenir des valeur infinitésimale.

Une derivée represente la pente en un point d'une courbe.

On l'a note au debut en <math>\(f'(x)\)</math> ce qui est equivalent : <math>\(\frac{d}{dt}f = \frac{df}{dt}\)</math>.

La definition de la derivée c'est ca : <math>\(f'(x_0) = \lim_{h \to 0\atop}{f(x_0+h)-f(x_0) \over h}\)</math>. En fait on calcule la pente entre 2 points d'une courbe et on rapproche c'est 2 points de tel maniere à ce qu'il soit quasiment confondu, c'est ce que veut dire le <math>\(\lim_{h \to 0\atop}\)</math> Limite quand h tend vers zero.

Donc la derivation c'est: On connait une fonction f, on veut la fonction ( <math>\(f', ou \frac{df}{dt}\)</math> ou tu peux l'appeller g ou n'importe comment si tu veux mais c'est pas clair donc ca ce fait pas ) qui donne la pente de f en chaques points.

La primitive <math>\(\int\)</math> c'est l'action inverse: on a une fonction f(x) qui donne la pente d'une autre fonction que l'on note : <math>\(\int f(x)dx\)</math>. L'objectif est de trouver cette fonction !

En reflechissant un peu on se rend compte que la derivée represente la vitesse de variation d'une valeur. (ca c'est important de le comprendre pour bien assimiler la notion de derivée ! )

Or qu'est ce que l'acceleration ? C'est une variation de vitesse dans le temps!
Qu'est ce que la vitesse ? un changement/ Une variation de position dans le temps!

d'où : <math>\(v(t) =\frac{dx(t)}{dt}\)</math> et <math>\(a(t) =\frac{dv(t)}{dt}\)</math>

Pour repondre à tes questions:
Tu peux te dire que <math>\(dx(t)\)</math> c'est <math>\(x(t+h) - x(t)\)</math> et dt c'est <math>\(t+h - t = h\)</math>, on retrouve bien la formule de la derivée en faisant tendre h vers zero.

Citation : Erroll

si : x = v . dt
v = x / dt

presque
D'apres <math>\(v(t) = \frac{dx}{dt}\)</math>
<math>\(dx(t) =v(t)dt\)</math>

Ici toi tu veux x, si on primitive:

<math>\(\int dx(t) = \int v(t)dt\)</math>
or <math>\(\int dx(t) = \int 1 \times dx = x(t)\)</math>

Car <math>\(\int 1 \times dx = x(t)\)</math> est la fonction qui a une pente de 1 par rapport à x(t), c'est la fonction <math>\(f( x(t) )\)</math> tel que <math>\(f ' ( x(t) ) = 1\)</math> cette fonction est : <math>\(f(x(t))=x(t)\)</math> (fonction affine : f(x) =ax+b avec a=1 et b=0 )

On a donc : <math>\(x(t) = \int v(t)dt\)</math>
de même on obtient : <math>\(v(t) = \int a(t)dt\)</math>

Je m'arrete la, si tu as compris et retenu que 1/5eme de ce post c'est deja pas mal
En effet ici tu as 2 problemes :

Il faut un bagage mathematique (derivée et integrale, comprendre ce que c'est, savoir les calculer)
Et apres il faut adapter ces maths à la vision physique ( comprendre pourquoi la vitesse est la derivée de la position et que l'acceleration est la derivé de la vitesse )
Si tu part vraiment du niveau zero c'est vraiment pas evident. Il faudrait que tu te renseignes d'abord sur la notion de derivée et d'integrale, dans des bouquins, sur wikipedia etc pour bien comprendre et ensuite te plonger dans le Principe Fondamentale de la Dynamique.


edit: Ahhh oui ça :

Citation : Erroll

merci

(de ce que je comprend, on doit multiplier "g . t" par le temps t, mais ensuite ce 1/2...? ) en passant de :



à :

Tu as mal compris (pas etonnant si tu ne connais pas du tous les primitives ) . Une primitive c'est pas du tous une multiplication.

Par exemple :<math>\(\int a(t)dt = t*a(t)\)</math> est totalement Faux !
Si on note comme ca <math>\(\int a(t)dt\)</math> c'est que a priori on ne connait pas la forme exacte de cette fonction. L'expression explicite de <math>\(\int a(t)dt\)</math> depend de l'expression de a(t).

En fait on a des formules (qu'il faut apprendre) pour connaitre le resultat de <math>\(\int a(t)dt\)</math> en fonction de la forme de a(t). En particulier si a(t) est un polynome on sait trés bien trouver la primitive !
(un polynome c'est :<math>\(f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_ix^i\)</math> ou si tu n'es pas familier avec les sommes : <math>\(f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n\)</math>)

On connait trés bien la primitive de ce genre de fonction :
<math>\(\int f(x) dx = \int \sum_{i=0}^{n} a_ix^i dx = C +\sum_{i=0}^{n} \frac{a_ix^{i+1}}{i+1} dx = C + a_0x + \frac{a_1x^2}{2} + \frac{a_2x^3}{3} + ... + \frac{a_{n-1}x^{n}}{n}+\frac{a_nx^{n+1}}{n+1}\)</math>

Ou et C et les <math>\(a_0,a_1\)</math> etc sont des nombres classiques

Voila (ici je te donne la formule mais elle ne sort pas du chapeau, si tu connais la derivée d'un polynome, il est facile d'obtenir cette formule ! )

Avec ca tu dois pouvoir trouver d'ou viens ces multiplications par t et cette division par 2 !

salut, d'abord merci vraiment de toutes ces explications, j'ai relu, j'ai compris au départ 1/10e mais peu à peu je m'améliore j'ai donc relu, je voulais te demander d'abord :

Citation

on veut la fonction f ' qui donne la pente de f en chaque point

comment obtient-on ce deuxième point appartenant à la courbe?
j'ai trouvé cette petite animation gif, mais je ne vois pas comment on trouve M : http://imageshack.us/photo/my-images/1 [...] eriverq0.gif/
sinon, peux-tu m'expliquer pourquoi on parle de la tangente avec la pente? quel est son utilité?

- ici :

Citation

dx(t) c'est <math>\(x(t + h) - x(t)\)</math> et dt c'est <math>\(t + h - t = h\)</math>

je fais peut-être un pas en arrière, mais ces points peuvent être représentés sur le graphe, n'est-ce pas? comment peuvent-ils être placés (quelle est la valeur <math>\(x\)</math> et <math>\(y\)</math> représentées sous cette forme?)

- et comment prononces-tu ça : <math>\(v(t) = dx(t) / dt\)</math> ?

merci encore pour toutes les réponses

Citation : Erroll

comment obtient-on ce deuxième point appartenant à la courbe?

Pour calculer une pente, tu as effectivement besoin de 2 points. Pour calculer la pente en un point de la courbe, on va en fait prendre 2 points mais infiniments proches. C'est ce qu'on voit sur ton animation, le point M se rapproche de plus en plus.
Exemple:



Si tu traces la droite rouge qui joint <math>\(P(a,f(a))\)</math> et un point Q de la courbe situé un peu plus loin (à <math>\(a+h\)</math>), ce point est de coordonnées <math>\((a+h, f(a+h)\)</math>)
Si Q se rapproche de plus en plus de P (donc que h tend vers 0), la droite rouge devient la droite bleue, qui est la tangente à la courbe.
La pente d'une droite dont tu connais deux points P et Q est donnée par:
<math>\(T = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_Q -y_P}{x_Q - x_P}\)</math>

Si on calcule la pente de la droite rouge, on a donc:
<math>\(T(x=a) = \frac {\Delta f} {\Delta x} = \frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h) -a}\)</math>
Pour obtenir la pente au point P, comme on a dit, c'est la valeur quand h tend vers 0
Lorsque nous faisons tendre h vers 0, on dit que l'on calcule la limite de cette expression. On note:


ce qui ce lit: limite quand h tend vers 0 de <math>\(\frac {f(x+h) - f(x)} {h}\)</math>
Dans ce cas, que deviennent notre <math>\(\Delta f\)</math> et notre <math>\(\Delta x\)</math>? Eh bien, ils deviennent très petits, nous disons infiniment petits. Pour bien le marquer, on utilise une notation qui nous vient de Leibniz: la notation différentielle. On appelle nos intervalles infiniment petits <math>\(df\)</math> et <math>\(dx\)</math>. On a maintenant:

<math>\(\frac {df} {dx} = \lim_{h \to 0} \frac {f(x+h) - f(x)} {h}\)</math>

Comme pour les primitives, pour les derivées on a des formules à apprendre (demontrable mais si on les connait par coeur ca va plus vite ... beaucoup plus vite).

En fait on peut les obtenir avec : <math>\(f'(x) = \lim_{h \to 0\atop}{f(x+h)-f(x) \over h}\)</math>

Par exemple prenons <math>\(f(x) =\frac{1}{x} \\)</math> donc <math>\(f(x+h)=\frac{1}{x+h}\)</math>
D'où : <math>\(f'(x) = \lim_{h \to 0\atop}{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} \over h} = \lim_{h \to 0\atop}{\frac{x-x-h}{(x+h)x}\over h} = \lim_{h \to 0\atop}{-\frac{h}{(x^2+hx)h}} = \lim_{h \to 0\atop}{-\frac{1}{x^2+xh}}\)</math>

Maintenant on fait tendre h vers zero, donc <math>\(xh\)</math> tend aussi vers zero: <math>\(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\)</math>

Avec un raisonement identique on obtient la derivée d'un polynome :<math>\(f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n\)</math>

<math>\(f'(x) = a_1 + 2*a_2x + 3*a_3x^2 ... + (n-1)*a_{n-1}x^{n-2}+n*a_nx^{n-1}\)</math>

(le terme <math>\(a_1\)</math> est en realité <math>\(a_1x^0\)</math> mais par definition <math>\(x^0=1\)</math>)

Tu peux essayer de deriver <math>\(f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2\)</math> avec la même methode que pour <math>\(\frac {1}{x}\)</math>

Citation : Erroll

salut, d'abord merci vraiment de toutes ces explications, j'ai relu, j'ai compris au départ 1/10e mais peu à peu je m'améliore j'ai donc relu, je voulais te demander d'abord :

- ici :

Citation

dx(t) c'est <math>\(x(t + h) - x(t)\)</math> et dt c'est <math>\(t + h - t = h\)</math>

je fais peut-être un pas en arrière, mais ces points peuvent être représentés sur le graphe, n'est-ce pas? comment peuvent-ils être placés (quelle est la valeur <math>\(x\)</math> et <math>\(y\)</math> représentées sous cette forme?)

Hazdrubal a bien expliqué la derivée : sur son grahique <math>\(x(t + h) - x(t)\)</math> correspond à <math>\(\Delta y\)</math> et <math>\((t + h) - t = h\)</math> correspond à <math>\(\Delta x\)</math>

Citation : Erroll

- et comment prononces-tu ça : <math>\(v(t) = dx(t) / dt\)</math> ?

Oralement on dit : "d x sur d t" ou "dé x sur dé t"

Pour la tangente;

En chaque point d'une courbe <math>\((x_0,f(x_0))\)</math> on peut definir la tangente, celle ci est la droite qui passe par ce point <math>\((x_0,f(x_0))\)</math> et qui a la même pente que la courbe en ce point. Or on a appellé la pente d'une courbe en <math>\(x_0\)</math>, <math>\(f'(x_0)\)</math>. Donc la tangente va s'ecrire : <math>\(Tangente(x)= f'(x_0)x+b\)</math> ou b est le coefficient qui va bien pour que <math>\(Tangente(x_0)=f(x_0)\)</math> (car en la tangente passe au même endroit que la courbe en <math>\(x_0\)</math> )

(je te cache pas que ca fait beaucoup d'informations à digerer, on commence à voir les fonctions en 3eme, la derivée en seconde, les primitives/integrales en terminales, soit 4 ans et les notations differentiels type <math>\(\frac {d}{dx}\)</math> sont vraiment abordées qu'en etude superieur )

Il manque un moins dans ta démonstration de la dérivée de la fonction inverse (-(x+h)=-x-h et non -x+h, une petite erreur d'étourderie)

Oups en effet, corrigé !

(ca ma pas choqué plus que ca à l'ecriture pourtant )

(d'abord merci encore pour ces supers explications!)
je pense avoir compris la théorie, et vos explications mais je pense que je me suis embrouillé entre temps :

- d'abord je bloque sur les calculs :

disons pour calculer <math>\(a2x^2\)</math>, comment fais-tu pour arriver à <math>\(2 * a2x\)</math> ?

<math>\(f(x) = a2x ^2\)</math>
<math>\(f(x + h ) = a2x ^2 + h\)</math>
<math>\(f' (x) = lim h0\)</math> (je ne sais pas comment l'écrire en notation scientifique ) <math>\((a2x ^2 + h - a2x ^2) / h\)</math> (jusque là c'est juste? comment continuer?)

- je me suis un peu embrouillé dans les notions :
est-il possible de faire un court résumé : disons on a une fonction <math>\(f(x)\)</math>, on cherche sa dérivée <math>\(f' (x)\)</math> (donc la pente de la courbe en un point), puis on cherche la primitive de cette dérivée, pour calculer l'intégrale (?)

a) donc disons qu'on a la dérivée en faisant la différence entre les 2 points,
b) on calcule la primitive en faisant le calcule de i + 1 (peux-tu juste me rappeler comment il est facile de trouver ce calcul? quand tu disais : " ici je te donne la formule mais elle ne sort pas du chapeau " )
c) au final, on fait primitive du point b - primitive du point a, qui me donne le fameux résultat... ai-je raté une étape?

Merci encore

(pour voir l'utilisation des balises maths, clic sur "citer" d'un des messages ou on a utilisé la limite ou va ici )

Citation : Erroll

disons pour calculer <math>\(a2x^2\)</math>, comment fais-tu pour arriver à <math>\(2 * a2x\)</math> ?

C'est bien ca que tu dois avoir.

Citation : Erroll

<math>\(f(x) = a2x ^2\)</math><= Ca c'est bon
<math>\(f(x + h ) = a2x ^2 + h\)</math><= ca c'est faux

C'est qui est bon c'est ca:
<math>\(f(x + h ) = a2(x+h) ^2\)</math>

Vois les choses comme ça si ca t'aide : <math>\(f(X)= a2X^2\)</math>
Donc <math>\(f(X=x)= a2x^2\)</math>
et <math>\(f(X=x+h)= a2(x+h)^2\)</math>

Apres tu developpes et tu simplifies (si c'est possible) et tu fais tendre h vers zero et normalement ... TADAAAMMM

Citation : Erroll

Est-il possible de faire un court résumé : disons on a une fonction <math>\(f(x)\)</math>, on cherche sa dérivée <math>\(f' (x)\)</math> (donc la pente de la courbe en un point), puis on cherche la primitive de cette dérivée, pour calculer l'intégrale (?)

Arf oui... avant de repondre il faut que tu saches la difference entre une primitive et une integrale. (peux etre que tu sais mais au cas ou ... ! )
Au niveau de l'ecriture:

primitive : <math>\(\int f(x)dx\)</math>
integrale : <math>\(\int_{x_1}^{x_2} f(x)dx\)</math>

La difference ? La primitive est une fonction donc on peux ecrire : <math>\(g(x)=\int f(x)dx\)</math>
L'integrale est une valeur numerique par exemple : <math>\(\int_{x_1}^{x_2} f(x)dx = 4\)</math> (c'est un xemple hein , j'ai pris 4 au pif ! )

En fait si on note <math>\(g(x)=\int f(x)dx\)</math> alors <math>\(\int_{x_1}^{x_2} f(x)dx = g(x_2) - g(x_1)\)</math>

Apres pour essayer de repondre à ta question:

Si on note <math>\(f(x)\)</math> une fonction et <math>\(f'(x)\)</math> ca derivée, il faut comprendre que comme la primitive c'est l'action inverse de la derivation : <math>\(\int f'(x)dx = f(x) + c\)</math> (ou c est une constante).
D'apres ta question je ne suis pas sur que tu avais bien compris ca !

Le coup de la constante c'est une petite subtilité :


Du coup on voit que si on veux calculer l'integrale entre 2 points quelconques (et non la primitive) :

<math>\(\int_{x_1}^{x_2} f'(x)dx = f(x_2) + c - f(x_1) - c = f(x_2)-f(x_1)\)</math>

d'ou la reponse d'@dri1 à (hier 13h) à CastorJo. CastorJo avait noté ces constantes qui proviennent des primitives : <math>\(\gamma \;et\; \eta\)</math>

Citation : Erroll

a) donc disons qu'on a la dérivée en faisant la différence entre les 2 points,
b) on calcule la primitive en faisant le calcule de i + 1 (peux-tu juste me rappeler comment il est facile de trouver ce calcul? quand tu disais : " ici je te donne la formule mais elle ne sort pas du chapeau " )
c) au final, on fait primitive du point b - primitive du point a, qui me donne le fameux résultat... ai-je raté une étape?

Le fameux resulat c'est quoi ? Tu parles de ton probleme physique ou de la derivée ?

Pour calculer une derivée pas besoin de primitive hein ! Cette formule suffit :

<math>\(f'(x) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h}\)</math>

Avec cette formule on doit pouvoir retrouver toute ces derivées : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9es_usuelles (tu peux essayer mais je pense que certain sont ... ardu et franchement pas de ton niveau je pense mais c'est possible ! )

En faite cette formule, on ne l'utilise plus, on apprend les resultats par coeur (à force des les utiliser ca rentre ^^) et pas besoin de s'enmer*** à faire cette limite. Surtout que dans certain cas c'est pas evident ! (cf le lien wiki )

Sinon t parle de ca j'imagine ?: <math>\(\int f(x) dx = \int \sum_{i=0}^{n} a_ix^i dx = C +\sum_{i=0}^{n} \frac{a_ix^{i+1}}{i+1} dx = C + a_0x + \frac{a_1x^2}{2} + \frac{a_2x^3}{3} + ... + \frac{a_{n-1}x^{n}}{n}+\frac{a_nx^{n+1}}{n+1}\)</math>
En fait pour derivée on a une formule bien precise (celle avec la limite) par contre pour integrer bah heuu ... on a pas de formule donc en gros le seul moyen c'est de chercher par tatonnement. Donc y a des techniques, mais pas THE formule comme pour la derivée du coup c'est vachement plus dur ! (parfois même impossible ) Mais pour ton problème c'est en fait vachement facile

Donc faire la primitive <math>\(g(x) = \int f(x)dx\)</math> c'est trouver une formule g(x) dont la derivée est g'(x)=f(x). Donc si on remarque que f(x) est de la forme d'une derivée connu on peut immediatement en deduire g(x).

On a vu que pour derivée un polynome on multiplie chaque terme par la puissance du x associé et on retranche 1 a la puissance de chaque x. Donc la primitive ca va etre l'inverse : rajouter 1 a la puissance de chaque terme et diviser chaque terme par la puissance associé + 1 (c'est clair ? )

En gros tu peux verifier que si tu derives ca : <math>\(C + a_0x + \frac{a_1x^2}{2} + \frac{a_2x^3}{3} + ... + \frac{a_{n-1}x^{n}}{n}+\frac{a_nx^{n+1}}{n+1}\)</math> tu obtiens biens ca : <math>\(a_0 + a_1x + a_2x^2} + ... + a_{n-1}x^{n-1}+\a_nx^n\)</math>

Donc tu en deduis que <math>\(C + a_0x + \frac{a_1x^2}{2} + \frac{a_2x^3}{3} + ... + \frac{a_{n-1}x^{n}}{n}+\frac{a_nx^{n+1}}{n+1}\)</math> est la primitive de <math>\(a_0 + a_1x + a_2x^2} + ... + a_{n-1}x^{n-1}+\a_nx^n\)</math>

Et <math>\(a_0 + a_1x + a_2x^2} + ... + a_{n-1}x^{n-1}+\a_nx^n\)</math> est la derivée de <math>\(C + a_0x + \frac{a_1x^2}{2} + \frac{a_2x^3}{3} + ... + \frac{a_{n-1}x^{n}}{n}+\frac{a_nx^{n+1}}{n+1}\)</math>

Dans ton probleme physique ta premiere primitive c'est ca (attention la variable est t et plus x ! ) :
<math>\(v(t) = \int gdt\)</math> ou g est une constante ! Tu peux conciderer que c'est ca :<math>\(a_0 + a_1t + a_2t^2} + ... + a_{n-1}t^{n-1}+\a_nt^n\)</math> ou tous les <math>\(a_1,a_2 ... = 0\)</math> seul <math>\(a_0 = g\)</math>

Donc la primitive c'est <math>\(v(t)=C_1 + a_0t = C_1 + gt\)</math> CastorJo a montré que C=0 (ca sa se montre avec la physique c'est plus des maths)

Ensuit <math>\(x(t) = \int v(t)dt = \int gt dt\)</math> d'apres la grosse formule moche au dessus :

<math>\(x(t) = C_2 + \frac{gt^2}{2}\)</math> et CastorJo a montré que C2 etait nul aussi

Si tu derives X(t) une fois tu trouves bien v(t) et si tu re-derives tu trouves bien a(t)

d'ou <math>\(x(t) = \frac{gt^2}{2}\)</math>

merci, j'ai passé un peu de temps à essayer de comprendre

est-ce que tu peux me dire si ceci est correct :

- La vitesse (<math>\(dx/dt\)</math>) est la dérivée de la position, pour trouver un point de la position, on cherche la primitive : <math>\(\int v(t)dt\)</math>
Le résultat de <math>\(\int v(t)dt\)</math> donne une fonction <math>\(g(x)\)</math>, qui donne le point qu'on cherche (en fonction de <math>\(x\)</math>).

- La dérivée d'un point sur la courbe de position donne la pente de la courbe de vitesse (qui est toujours le même ratio, sur tous les points de la courbe de vitesse)

- sinon, une question : pour calculer la primitive de l'accélération (et donc trouver la pente de vitesse), pourquoi ici : on prend <math>\(a0\)</math> et pas <math>\(a1x\)</math>, puisqu'on a une constante : <math>\(a1\)</math> , et une inconnu : <math>\(dt\)</math> ?

<math>\(\int g . dt\)</math>, donc avoir directement ce résultat pour la primitive de l'accélération :

(ceci est donc apparemment faux) : <math>\(v(t) = \frac{gt^2}{2}\)</math>

- On se fiche de la constante car on cherche le ratio de la courbe, la pente, est-ce correct?


(Enfin, un dernier point, mais c'est juste un exemple)

sinon merci vraiment encore, j'apprécie vraiment ton aide

Un post que j'avais écrit sur le calcul de la distance parcourue par un objet en chute libre:
http://sciences.siteduzero.com/forum-8 [...] html#r7042723

merci hazdrubal, super exemple, j'essaie de faire le lien entre les infos dans ce sujet, et les explications un peu plus "concrètes", je suis tombé sur ce tuto aussi, qui était très intéressant. faut que j'essaie de pas m'embrouiller entre les deux (dans ta réponse à l'autre sujet et le tuto, on parle des aires, je ne sais pas si je m'embrouille avec les 3 notions d'accélération, vitesse, et position, je représente ça dans ma tête comme 3 courbes, 2 courbes qui aident à avoir la 3e : celle de la position, mais je me trompe peut-être : comment seraient représentées l'accélération, la vitesse et la position sur ton schema?)

Tu es noyé sous les informations (Amené d'une maniere pedagogique plus ou moins douteuse sans doute )

Citation : Erroll

- La vitesse (<math>\(dx/dt\)</math>) est la dérivée de la position, pour trouver un point de la position, on cherche la primitive : <math>\(\int v(t)dt\)</math>

Pour etre plus precis <math>\(\frac{dx}{dt}\)</math> est la derivée de la position par rapport au temps

Citation

Le résultat de \int v(t)dt donne une fonction g(x), qui donne le point qu'on cherche (en fonction de x).

Ca c'est faux
Ca c'est vrai : <math>\(\int v(t)dt\)</math> donne directement <math>\(x(t)\)</math>

Citation

- La dérivée d'un point sur la courbe de position donne la pente de la courbe de vitesse (qui est toujours le même ratio, sur tous les points de la courbe de vitesse)

C'est plus simple que ca
En premier petite clarification: on parle de derivée en un point et non de la derivée d'un point (un point ca n'a pas de pente, une pente c'est justement la comparaison de 2 points distinct

Donc ta phrase ca serait plutôt : " La derivée en un point de la courbe de position donne la pente de la courbe de position. La valeur de cette pente est la valeur de la courbe de vitesse en ce même point"

Citation

sinon, une question : pour calculer la primitive de l'accélération (et donc trouver la pente de vitesse), pourquoi ici : on prend a0 et pas a1x, puisqu'on a une constante : a1 , et une inconnu : dt ?

la primitive de l'acceleration ce n'est pas la pente de la vitesse mais LA vitesse !
La pente de la vitesse c'est directement l'acceleration !

ca tu peux le comprendre "avec les mains" comme on dit:

j'ai trouvé cette courbe sur internet, c'est une courbe de vitesse en fonction du temps ( disons la vitesse d'une voiture pour que ca soit moins abstrait !)


On voit que la vitesse entre t=3s et t=3,9s la vitesse a presque pas augmentée. Ce qui veux dire (si c'est par exemple la vitesse d'une voiture) que le chauffeur a trés trés peu acceleré ! Si on regarde la pente de la courbe vers t = 3s et apres on voit qu'elle est très faible (la tangente est presque horizontale), la valeur de cette pente c'est bien l'acceleration !

Au contraire au debut de la courbe, la vitesse augmente beaucoup, cela veut dire que la voiture a acceléré pour augmenter sa vitesse, et en effet on constate que la pente à cet endroit est pentu, d'ou une valeur élévé de l'acceleration.

Sinon pour ta question en fait le <math>\(dt\)</math> c'est PAS une inconnu, ca indique par rapport à quelle variable on va primitiver. ( comme le dt de <math>\(\frac{d}{dt}v(t)\)</math> indique qu'on va deriver par rapport à t)
Donc ca <math>\(\int g dt\)</math> ce lis: "Primitive de g dt" et signifie: "primitive de g par rapport à t" et non "primitive de gdt par rapport a t"



Pour ton programme:

C'est du calcul numerique en fait, pas de derivée (enfin pas au sens mathematique). Pour ameliorer la precision d'un tel programme il te faut baisser la valeur de dt.
En fait le programme sous entend que pendant toute la valeur de dt la vitesse et la même. C'est faux ! C'est juste une approximation. Une approximation d'autant plus vrai que dt est petit. Mais ici dt est grand par rapport a ton echelle de temps (dt=1s par rapport à t=10s, alors que pour les derivées on considere dt INFINITESIMALE en gros quasi nul !) Ici, si tu prend dt = 0,1s ou dt = 0,01s tu auras un resultat beaucoup plus precis !

Merci, je crois que j'ai tout compris! incroyable...

donc on trouvera (presque) toujours une équation de dérivée de cette forme ?

<math>\(a_0 + a_1x + a_2x^2} + ... + a_{n-1}x^{n-1}+\a_nx^n\)</math> ?

et si la question avait été de calculer le temps que la balle aurait mis pour 320 mètres de distance, comment aurait-on fait? (en théorie? )
on aurait commencé de la même façon :
on a l'accélération,
on a la vitesse (l'accélération dans le temps)
et ensuite...? (on connaît un calcul pour avoir la position par rapport au temps (on soustrait donc entre le moment tK et le moment t0...) comment avoir le temps par rapport à la distance...?)

Pour ta deuxième question (je n'ai pas compris ce que tu voulais dire pour la première ) :
Tu commences bien de la même façon (bilan des forces, relation fondamentale de la dynamique) pour obtenir l'accélération, tu intègres pour avoir la vitesse en fonction du temps v(t) et tu intègres à nouveau pour avoir la distance en fonction de temps d(t).

En notation mathématique, ça donne (en supposant que l'objet est lâché sans vitesse initiale à <math>\(t=0\)</math>):
<math>\(a = g\)</math>
<math>\(v(t)=gt\)</math>
Je détaille l'intégration pour obtenir la distance :
<math>\(d(t)-d(0)=\int_{0}^{t}v(t')dt' = \int_{0}^{t}gt'dt'\)</math>
<math>\(d(t)-d(0)=\frac{gt^2}{2}\)</math>
<math>\(d(t)-d(0)\)</math>, c'est la distance parcourue par l'objet entre les temps 0 et t, celle qui t'intéresse. Si on la nomme d, on obtient l'équation <math>\(d=\frac{gt^2}{2}\)</math>.
À partir de cette équation, tu peux trouver la distance si tu connais le temps, ou bien le temps si tu connais la distance : <math>\(t = \sqrt{\frac{2d}{g}}.\)</math>

Citation : ml22

À partir de cette équation, tu peux trouver la distance si tu connais le temps, ou bien le temps si tu connais la distance : <math>\(t = \sqrt{\frac{2d}{g}}.\)</math>

Merci
par contre, comment arrives-tu à cette équation : <math>\(t = \sqrt{\frac{2d}{g}}.\)</math> ?
et quand tu mets des apostrophes sur <math>\(gt'dt'\)</math>, quelle est la différence avec <math>\(gtdt\)</math> ?

pour ma première question, en fait c'était juste pour une confirmation, si j'ai bien compris,
si on dérive la primitive, on obtient <math>\(f(x)\)</math>
donc on vérifie les formes de <math>\(f(x)\)</math> : <math>\(a0 + a1x + a2x2\)</math>... (l'accélération par exemple pour <math>\(a0\)</math>)
et si la forme du f(x) coïncide avec l'une de ces formes, on prend la forme de la primitive correspondante,
je me demandais si c'était fréquent de devoir "chercher par tâtonnement" la primitive, ou si généralement c'est souvent en comparant les formes de f(x) avec <math>\(a0 + a1x + a2x2\)</math>... qu'on la trouve...

Salut,

<math>\(d\)</math>, <math>\(t\)</math> et <math>\(g\)</math> étant positifs, on a en fait une équivalence entre <math>\(d = \frac{gt^2}{2}\)</math> et <math>\(t = \sqrt\frac{2d}{g}\)</math>. On obtient facilement la réponse en faisant un petit calcul (on passe le 2 et <math>\(g\)</math> de l'autre côté, puis racine carrée.

Pourquoi écrit-ton <math>\(\int_0^t gt' dt'\)</math> ? La variable <math>\(t'\)</math> est en fait muette, c'est-à-dire qu'elle ne signifie rien. On peut écrire de manière équivalente <math>\(\int_0^t gu du\)</math>. C'est le <math>\(du\)</math> (ou le <math>\(dt'\)</math>) qui fixe la variable dans l'intégrale.

Habituellement, on choisis <math>\(t\)</math> comme variable muette représentant le temps. Ici, on l'évite, parce que <math>\(t\)</math> est déjà une borne de l'intégrale, et peut prêter à confusion. Pourtant dans l'absolu, si on écrit <math>\(\int_0^t gt dt\)</math>, ce qui est peu élégant, on comprend tout de même que <math>\(t\)</math> est la variable muette. Par contre, on ne pourra plus se référer à la borne <math>\(t\)</math> à l'intérieur de l'intégrale.

Merci, est-ce que tu compares t dans le S, et "dt" ? je suis pas sûr de bien comprendre pourquoi on ne peut plus se référer à la borne t lorsqu'on utilise gtdt (?)