Je te donne un exemple. Je te préviens, on s'éloigne de la physique.
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On pourrait par exemple calculer l'intégrale <math>\(\int_{t_0}^{t_1} (t_0t + t_1)dt\)</math>. On a la même valeur en écrivant <math>\(\int_{t_0}^t (t_0 t' + t) dt'\)</math>. Cependant, si on utilise <math>\(t\)</math> comme variable muette, on voudrait écrire <math>\(\int_{t_0}^t (t_0 t + t) dt\)</math> ... sauf que ce n'est plus la même intégrale ! En effet, le <math>\(t\)</math> isolé va avoir une primitive en <math>\(\frac{t^2}{2}\)</math> alors que le <math>\(t_1\)</math> initial aurait donné en primitive du <math>\(t_1t\)</math>, ce qui n'est pas du tout pareil.

C'est pour ça que je dis qu'on ne peut plus se référer au <math>\(t\)</math> de la borne : il est occulté par la variable muette. Et toute occurence de t sera considéré comme le <math>\(t\)</math> muet, pas comme celui de la borne. À moins que tu annotes le calcul en disant : "Ce t là est celui de la borne." chaque fois qu'il le sera. Pas très pratique hein ? Autant changer de lettre dès le début. Comme ça, pas d'ambigüité.

Merci, dans le calcul je bloque un peu :
pour calculer la primitive, on regarde la forme de la dérivée (par exemple pour l'accélération, sa forme était <math>\(a0\)</math>) : dixit le précédent message de Vael :

<math>\(C + a_0x + \frac{a_1x^2}{2} + \frac{a_2x^3}{3} + ... + \frac{a_{n-1}x^{n}}{n}+\frac{a_nx^{n+1}}{n+1}\)</math> est la primitive de <math>\(a_0 + a_1x + a_2x^2} + ... + a_{n-1}x^{n-1}+\a_nx^n\)</math>

donc pour : <math>\(v(t) = \int gdt\)</math>, g est la constante, et représente <math>\(a0\)</math>, donc la primitive est <math>\(a0x\)</math> (ou <math>\(gt\)</math>)

dans ton exemple, avec le <math>\(t\)</math> isolé : <math>\(\int_{t_0}^t (t_0 t' + t) dt'\)</math>, on compare : <math>\((t_0 t' + t)\)</math>, et tu dis :

Citation

En effet, le <math>\(t\)</math> isolé va avoir une primitive en <math>\(\frac{t^2}{2}\)</math>

donc <math>\((t_0 t' + t)\)</math> correspond à cette forme : <math>\(a2x^2\)</math>, pour avoir cette primitive <math>\(\frac{a_1x^2}{2}\)</math> ? je ne comprend pas comment? à moins que je me sois trompé jusque là

C'est moi qui me suis mal expliqué. Ce que je voulais dire, c'est que quand on intègre par rapport à <math>\(t'\)</math>, la primitive de <math>\(t_0t' + t\)</math> sera <math>\(\frac{t_0}{2} t'^2 + t t'\)</math>, alors que si on primitive par rapport à <math>\(t\)</math> l'expression <math>\(t_0 t + t\)</math>, on aura comme primitive <math>\(\frac{t_0}{2} t^2 + \frac{t^2}{2}\)</math>.

Tout ça pour en venir au fait que dans <math>\(\int_0^t (t_0t' + t) dt'\)</math>, le <math>\(+t\)</math> est le <math>\(t\)</math> de la borne. Alors que dans <math>\(\int_0^t (t_0 t + t)dt\)</math>, le <math>\(+t\)</math> est le <math>\(t\)</math> muet, celui qui est dans <math>\(dt\)</math>.

Donc pour résumer, la lettre qu'on utilise dans le <math>\(dt\)</math>, <math>\(du\)</math> ou <math>\(dt'\)</math> n'a pas de signification en dehors de l'intégrande, on dit qu'elle est muette. On peut la changer dans changer le résultat. Cependant, si on choisit comme lettre une qui est utilisée dans les bornes, alors on ne pourra pas introduire les bornes dans le calcul, parce qu'elle sera considérée comme étant la variable muette.

En général on évite de faire ça, parce que c'est source de confusion, et qu'on finira un jour ou l'autre par écrire quelque chose qui n'est pas ce qu'on voulait dire. C'est ce qui se passe avec la deuxième intégrale ci-dessus. Ce n'est pas la même, parce que le choix peu judicieux de la variable pour l'intégration a changé sa valeur.

Pour résumer encore, on peut utiliser une même variable comme borne et comme variable muette, mais dans le doute, on ne le fait pas, et on utilisera toujours une variable différente.

ah d'accord, merci

merci pour toutes les réponses de ce sujet, ça a été vraiment très enrichissant!

Merci, sujet résolu !