Alors comme dit précédemment, on centre nos 2 cercles en <math>\((r,0)\)</math> et <math>\((r+8,0)\)</math>,

On a alors les 2 équations de cercles suivantes:

Pour le cercle de centre <math>\(O_r\)</math>: <math>\((x-4)^2+y^2=16\)</math>
Pour le cercle de centre <math>\(O_R\)</math>: <math>\((x-12)^2+y^2=36\)</math>

On veut maintenant déterminer les coordonnées des points d'intersection de ces 2 cercles, notons <math>\(A(x_a,y_a)\)</math> l'un de ces deux points (l'autre sera son symétrique par rapport à l'axe des x)

Donc les coordonnées de A doivent vérifier les 2 équations précédentes:

<math>\((x_a-4)^2+y_a^2=16\)</math>
<math>\((x_a-12)^2+y_a^2=36\)</math>

Donc pour résoudre, tu développes la parenthèse, tu simplifies tu soustrais pour enlever les carrés, et tu obtiens une valeur de <math>\(x_a\)</math> et tu la réinjectes dans une équation pour avoir <math>\(y_a\)</math>

Donc ! On a donc les valeurs numériques <math>\(x_a\)</math> et <math>\(y_a\)</math> pour coordonnées de A (je te laisse les calculer je garde ces notations pour la lisibilité)

Alors

On s'intéresse maintenant au triangle <math>\(O_rAO_R\)</math> On est chanceux car l'on connait tout sur lui: longueur des cotés, et longueur de la hauteur issue de A (<math>\(y_a\)</math>)

On note maintenant <math>\(\alpha\)</math> l'angle <math>\(\widehat{AO_RO_r}\)</math> et <math>\(\beta\)</math> l'angle <math>\(\widehat{AO_rO_R}\)</math>

On a donc:
<math>\(sin(\alpha)=\frac{y_a}{R}\)</math> et <math>\(sin(\beta)=\frac{y_a}{r}\)</math>

Et donc:
<math>\(\alpha=Arcsin(\frac{y_a}{R})\)</math> et <math>\(\beta=Arcsin(\frac{y_a}{r})\)</math>

Donc maintenant on veut déterminer les surfaces des portions de cercles d'angle respectif <math>\(\alpha\)</math> et<math>\(\beta\)</math>, que l'on notera respectivement <math>\(S_1\)</math> et <math>\(S_2\)</math>.

On a donc: <math>\(S_1=\frac{\alpha}{2}.R^2\)</math> et <math>\(S_2=\frac{\beta}{2}.r^2\)</math>

Quand on additionne ces 2 aires, on obtient donc, l'aire de <math>\(AO_rO_R\)</math> additionné à la moitié de l'aire recherchée (en faisant une figure on s'en rend mieux compte)

L'aire du triangle <math>\(AO_rO_R\)</math> ne relevant pas d'un grand mystère des mathématiques, si l'on note <math>\(S_h\)</math> l'aire recherchée, ça nous donne:

<math>\(S_h=2.(S_1+S_2-Aire(AO_rO_R))\)</math>

Première étape : on calcule alpha, un alkashi dans ADB fait l'affaire
Seconde étape : on calcule l'aire de la portion de cercle délimitée par D et E : aire du cercle*alpha/(2pi)
Troisième étape : on calcule l'aire du triangle isocèle ADE.
Quatrième étape : avec la différence des deux derniers résultats on a l'aire verte sur ma figure
Cinquième étape : on fait pareil dans l'autre cercle
Sixième étape : on somme.

Si on prend l'aire définie par les deux portions de cercles (Al-Kashi pour calculer l'angle), on a deux fois l'aire recherchée, et une fois l'aire du quadrilatère qui est en trop :



On peut donc l'enlever en soustrayant deux fois l'aire du triangle suivant (Héron pour calculer l'aire, puisqu'on a déjà les dimensions : a, r et R) :



Et enfin, les deux triangles isocèles sont ici :