Bonjour,

J'ai un petit souci avec la dernière question d'un exo : ma réponse est complètement fausse.

On étudie le mouvement d'une bille qui glisse dans un bol hémisphérique de A en B. Il faut calculer à quelle vitesse la bille passe au point B.



Données (fournies ou vérifiées par le corrigé) :

<math>\(R = 6,0 \text{ cm}\)</math>

<math>\(m_{bille} = 40,0 \text{ g}\)</math>

<math>\(F_{frottement} = 12,0 \text{ mN}\)</math>

<math>\(E_c(B) = 22,4 \text{ mJ}\)</math>

J'ai voulu me servir de la relation : <math>\(P = \vec{F} \cdot \vec{v}\)</math> (avec P comme puissance instantanée, car la vitesse et la force ne sont pas constantes), en considèrant que la seule force à prendre en compte au point B est la force de frottements, puisque le poids est compensé par la normale. Mais je tombe sur un résultat incohérent...

Qui plus est, sans trop comprendre exactement pourquoi, je sens qu'il est effectivement impossible d'utiliser cette relation ici, car on voit bien que la force de frottements est dans le sens inverse du mouvement, alors que l’énergie cinétique est positive, donc il y a forcément une grave erreur dans mon raisonnement.

Aussi, j'aimerais savoir quelle est mon erreur, et si possible avoir une piste pour résoudre cette question.

Merci !

Utilise la definition de l'energie cinetique.

Citation : Nanoc

Utilise la definition de l'energie cinetique.

Oui, mais il y a un hic pour moi :

La formule <math>\(E_c = \frac{1}{2} m v^2\)</math> (donc <math>\(v = \sqrt{\frac{2 E_c}{m}}\)</math>) est donnée d’après mon cours uniquement pour un mouvement de translation. Or est-ce bien le cas ici ? (si oui, expliquez moi svp, j'aurais plutôt dit un mouvement de rotation.)

Une énergie cinétique positive ? Je crois qu'il n'en existe pas de négative, tu parlais de la variation non ?
Un autre fait étrange c'est que ta force de frottement est constante ? C'est très très louche car elle roulerait tout le temps, généralement une force de frottement s'exprime <math>\(- \lambda \vec{v}\)</math>. C'est ce qui me semble être facteur d'erreur.

Ce que je te propose c'est une méthode que je commence un peu à oublier sur le travail élémentaire.

Alors, on a <math>\(\delta W = \vec{F} \cdot d\vec{OM}\)</math>. Ici, je présume que tu traites un problème ponctuelle, donc <math>\(\vec{OM} = R \vec{u}_r\)</math> (on se place en cylindrique). On a donc <math>\(d\vec{OM} = R d\theta \vec{u}_{\theta}\)</math>
Du coup, <math>\(\delta W = - \lambda \vec{v} \cdot R d\theta \vec{u}_{\theta}\)</math> avec <math>\(\vec{v} = R \dot{\theta} \vec{u}_{\theta}\)</math>, finalement : <math>\(\delta W = - \lambda R^2 \dot{\theta} d\theta\)</math>

Notre autre énergie potentielle est celle du poids, on a donc : <math>\(\delta W = mg \vec{u}_z \cdot R d\theta \vec{u}_{\theta}\)</math>. Or <math>\(dE_p = - \delta W\)</math>, on a donc <math>\(dE_p = -mg R \sin \theta d\theta\)</math> (on sait la trouver d'une autre manière mais cette méthode est agréable non ?). En intégrant et en choisissant nulle l'énergie potentielle en B, on a <math>\(E_p = mg R (1 - \cos \theta)\)</math>

Notre énergie cinétique vaut <math>\(E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m R^2 \dot{\theta}^2\)</math> d'où <math>\(E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} m R^2 \dot{\theta}^2 + mg R (1 - \cos \theta)\)</math>

On sait que <math>\(\frac{d E_m}{dt} = P^{nc} = \frac{\delta W}{dt}\)</math>

On approche de la fin, on a : <math>\(\frac{1}{2}mR^2 \frac{d\dot{\theta}^2}{dt} -mgR\frac{d \cos \theta}{dt} = - \lambda R^2 \dot{\theta}^2\)</math>

D'où <math>\(mR^2 \ddot{\theta} \dot{\theta} + mgR \dot{\theta} \sin{\theta} = -\lambda R^2 \dot{\theta}^2\)</math>, en simplifiant par <math>\(\theta\)</math>, on a une belle équation différentielle :
<math>\(mR \ddot{\theta} + mg \sin{\theta} = -\lambda R \dot{\theta}\)</math>

Le terme en <math>\(\dot{\theta}\)</math> confirme la présence de frottements. Maintenant, on suppose généralement de petites oscillations et on pose <math>\(\sin \theta \simeq \theta\)</math>, puis on résout.

EDIT : oups, excuse moi je n'ai pas répondu à ta question... J'y réfléchi.

Il y a dans ce cas à la fois un mouvement de rotation et de translation. Il y a en fait même deux rotations : la rotation de la bille autour de O (centre du bol) et la rotation de la bille sur elle-même. Il te manque d'ailleurs le rayon de cette bille pour pouvoir résoudre le problème.

Sinon, je ne comprends pas que la donnée prétende que la force de frottement soit fixe, car elle varie bien entre A (où elle est forcément nulle puisque la force de soutien du bol l'est également) et B où elle est maximale.

Merci pour vos réponses,

Citation : Morgin

Une énergie cinétique positive ? Je crois qu'il n'en existe pas de négative, tu parlais de la variation non ?

En fait, c'est exactement ce que je voulais dire : l’énergie cinétique est forcément positive (par définition, quoi).

Citation : Morgin

Un autre fait étrange c'est que ta force de frottement est constante ? C'est très très louche car elle roulerait tout le temps, généralement une force de frottement s'exprime <math>\(- \lambda \vec{v}\)</math>. C'est ce qui me semble être facteur d'erreur.

Citation : Me Capello

Il y a dans ce cas à la fois un mouvement de rotation et de translation. Il y a en fait même deux rotations : la rotation de la bille autour de O (centre du bol) et la rotation de la bille sur elle-même. Il te manque d'ailleurs le rayon de cette bille pour pouvoir résoudre le problème.

Oui, vous avez raison, effectivement. En relisant l'énoncé, je lis :

Citation

Elle est soumise à une force de frottements que l’on supposera constante, de valeur F = 12,0 mN.

Donc il s'agit d'une simplification...

Citation : Me Capello

Il y a dans ce cas à la fois un mouvement de rotation et de translation. Il y a en fait même deux rotations : la rotation de la bille autour de O (centre du bol) et la rotation de la bille sur elle-même. Il te manque d'ailleurs le rayon de cette bille pour pouvoir résoudre le problème.

Cette donnée n'est pas fournie, et même si elle l'était je ne pense pas avoir le niveau pour l'utiliser. Donc je suppose que l'exo incite à voir ici un (faux) modèle simplifié. En testant la solution suggérée ci-dessus par Nanoc, j'obtiens effectivement une valeur qui coïncide avec le corrigé.

Mais je ne suis pas sûr de bien comprendre, surtout quand tu dis qu'"il y a dans ce cas à la fois un mouvement de rotation et de translation". Quelle est la définition d'une translation, et celle d'une rotation ? Et quelle est la translation ici ?

Bonjour,

Je pense que la remarque de Me Capello s'applique à une étude plus compléte et plus difficile où on ne réduit pas la bille à un point matériel, comme c'est le cas, j'imagine, ici.

Par contre, comme déjà dit, ton hypothése de frottement constant n'a pas de sens physique.
Dans ce genre d'exo , soit on étudie le mouvement sans frottement si on veut faire simple , soit on suppose comme dans le calcul de Morgins une dépendance de la vitesse selon <math>\(fv\)</math>, ce qui conduit pour les petits mouvements à une équation encore facile à résoudre .

L'hypothése à frottement constant conduit, il me semble, à un modèle non physique. ...donc cela me surprend que l'on pose un exo de physique ( aussi classique) avec cette supposition !

Une autre remarque:
si tu regardes bien ton système, tu te rendras facilement compte qu'il se comporte tout à fait comme un pendule simple de longueur R.
L'équation du mouvement obtenu par Morgins est bien celle-là!

Citation : yoch

Mais je ne suis pas sûr de bien comprendre, surtout quand tu dis qu'"il y a dans ce cas à la fois un mouvement de rotation et de translation". Quelle est la définition d'une translation, et celle d'une rotation ? Et quelle est la translation ici ?

Je voulais dire qu'il y a à la fois la rotation de la bille sur elle-même (non prise en compte dans ton modèle simplifié, visiblement) et le mouvement de la bille qui descend le long du bol. Ce mouvement-là peut en fait être considéré soit comme une succession de translations infinitésimales soit comme une rotation de centre O.

Donc tu es en mécanique du point ?
Mais la force de frottement est un vecteur, on la suppose opposée à la vitesse quand même, non ? Ou bien c'est la valeur en B qui nous est donné ?
Dans le premier cas, il s'agit de reprendre mon raisonnement en changeant (- lambda v) par la constante, je persume que l'on cherche sa vitesse pour un premier passage pour l'équation horaire.
Par contre, si on te demande juste la vitesse en B et tu connais l'énergie cinétique, pour ne pas simplement appliqué la formule "1/2 m v^2" ?

Édit : je viens de voir ce que tu as dit dans un message qui l'avait echappé. Je ne vois pas en quoi la nature du mouvement influence l'expression de l'eng cinétique, elle vaut pour 1/2 m v^2, enfin c'est ce que je crois, donc applicable en n'importe quelle situation, même s'il y a des forces non conservatrices !

Citation : nabucos

Par contre, comme déjà dit, ton hypothése de frottement constant n'a pas de sens physique.
Dans ce genre d'exo , soit on étudie le mouvement sans frottement si on veut faire simple , soit on suppose comme dans le calcul de Morgins une dépendance de la vitesse selon <math>\(fv\)</math>, ce qui conduit pour les petits mouvements à une équation encore facile à résoudre .

L'hypothése à frottement constant conduit, il me semble, à un modèle non physique. ...donc cela me surprend que l'on pose un exo de physique ( aussi classique) avec cette supposition !

Oui, je vois bien ce que tu veux dire, mais ce n'est pas moi qui ai écrit l'exo...

Citation : Me Capello

Je voulais dire qu'il y a à la fois la rotation de la bille sur elle-même (non prise en compte dans ton modèle simplifié, visiblement) et le mouvement de la bille qui descend le long du bol. Ce mouvement-là peut en fait être considéré soit comme une succession de translations infinitésimales soit comme une rotation de centre O.

Ok. Et la relation <math>\(E_c = \frac{1}{2} m v^2\)</math> est-elle valable ici ?

Citation : Morgin

Par contre, si on te demande juste la vitesse en B et tu connais l'énergie cinétique, pour ne pas simplement appliqué la formule "1/2 m v^2" ?

Édit : je viens de voir ce que tu as dit dans un message qui l'avait echappé. Je ne vois pas en quoi la nature du mouvement influence l'expression de l'eng cinétique, elle vaut pour 1/2 m v^2, enfin c'est ce que je crois, donc applicable en n'importe quelle situation, même s'il y a des forces non conservatrices !

En fait, dans mon cours, ils font la distinction entre énergie cinétique dans un mouvement de translation avec la relation <math>\(E_c = \frac{1}{2} m v^2\)</math>, et l'énergie cinétique dans un mouvement de rotation avec la relation <math>\(E_c = \frac{1}{2} J \omega^2\)</math>. L'ennui, c'est que la seconde formule n'est pas abordée dans le cours (ni dans mes bouquins d'ailleurs), et la notion de "moment d'inertie" (le <math>\(J\)</math>) me fait totalement défaut.

Citation : nabucos

si tu regardes bien ton système, tu te rendras facilement compte qu'il se comporte tout à fait comme un pendule simple de longueur R.
L'équation du mouvement obtenu par Morgins est bien celle-là!

On n'a pas trop approfondi l'étude du pendule en cours (juste vu quelques notions + quelques formules, le cours s'attarde beaucoup plus sur le solide/ressort), mais je vais essayer de le faire tout seul. Merci !

Le J sert s'il y a rotation d'un objet tridimensionnel, ce qui n'est pas le cas ici vu qu'on est en meca du point.
Sinon J est la triple intégrale sur le volume du solide de la masse volumique en M au carré. C'est généralement incalculable sauf dans le cadre de fortes hypothèses de symétrie et d'homogenité. Enfin, sans le rayon de la boule, c'est incalculable

Citation : yoch

Et la relation <math>\(E_c = \frac{1}{2} m v^2\)</math> est-elle valable ici ?

L'énergie cinétique <math>\(E = \tfrac12 m v^2\)</math> reste toujours valable (en mécanique classique s'entend ! ).

Bonsoir,

Merci à tous pour vos réponses qui ont bien éclairé ma lanterne.