Bonsoir,

Alors voilà, j'ai une démonstration à faire, mais j'ai un petit soucis au niveau d'une conclusion, l'assertion est la suivante:

Soit E un K espace vectoriel non nul de dimension finie.
On pose n=dimE et <math>\((e_1,...,e_n)\)</math> une famille de n vecteurs. On a donc équivalence entre les propriétés suivantes.

1/ <math>\((e_1,...,e_n)\)</math> est une base de E.
2/ <math>\((e_1,...,e_n)\)</math> est une famille libre de E.
3/ <math>\((e_1,...,e_n)\)</math> est une famille génératrice de E.

Donc, voili voilou:

1/ => 3/: Trivial, définition d'une base

3/ => 2/:

Alors:
Soit <math>\((e_1,...,e_n)\)</math> une famille génératrice de E. On l'a suppose liée.

Alors, il existe <math>\((\lambda_1,...,\lambda_n) \in K^n\)</math> non tous nul tel que:

<math>\(\lambda_1 e_1+...+\lambda_n e_n=0\)</math>

On considère alors le terme en <math>\(\lambda_j\)</math> différent de 0 ,<math>\(j \in [[1..n]]\)</math>. L'égalité précédente peut donc se réécrire:

<math>\(e_j=\frac{1}{\lambda_j}\sum_{i=1,i \ne j}^{n}\lambda_i e_i\)</math>

Ainsi <math>\(\forall x \in E\)</math>, on a <math>\(x \in\)</math> Vect<math>\((e_1,...,e_n)\)</math>, et <math>\(x \in\)</math> Vect<math>\((e_1,...,e_{j-1},e_{j+1}...,e_n)\)</math>.

On a donc créé une famille génératrice de E de n-1 vecteurs.

Et donc là, d'après le théorème de Steiniz on est censé trouvé une contradiction quelque part... Sauf que je vois pas comment... --'

Merci de votre aide

Bon et sinon 2/ => 1/ Théorème de la base incomplète, mais comme la famille contient déjà n vecteurs, tout les vecteurs rajoutés seront combinaisons linéaire des vecteurs déjà présent, donc <math>\((e_1,...,e_n)\)</math> est une base de E.

Tu pourrais dire que soit la famille génératrice que tu as trouvée est libre et c'est une base de E, soit elle ne l'est pas et tu peux recommencer ton raisonnement jusqu'à trouver une famille génératrice et libre de E (c'est possible puisque E n'est pas nul). Dans les deux cas tu disposes alors d'une base de E contenant strictement moins de n vecteurs, or E est de dimension n donc il y contradiction. (Je pense que ce raisonnement est correct mais s'il ne l'est pas, je veux bien savoir pourquoi ).

Bonsoir,

Premièrement, je ferais remarquer que <math>\(\emptyset\)</math> est une famille génératrice¹ et libre de <math>\(E = \{ \overrightarrow 0 \}\)</math>, et que la propriété qui assure la terminaison de ton algorithme est en fait <math>\(\mathrm{dim} E < \infty\)</math> (cf par exemple <math>\(e_{2n} = X^n\)</math> et <math>\(e_{2n+1} = 2X^n\)</math> dans <math>\(\mathbb{R}[X]\)</math>, dont on ne peut extraire une base en un nombre fini d'étapes).

Ensuite, le raisonnement de ml22 est bon, même si maladroitement rédigé.
Une rédaction plus « propre »² considérerait certainement une sous-famille <math>\((e_{i_j})_{1\leq j\leq m}\)</math> de <math>\((e_i)_{1\leq i\leq n}\)</math> (on ne conserve que certains des <math>\(e_i\)</math>, donc <math>\(m\leq n\)</math>) qui soit toujours génératrice, et de cardinal minimal parmi celles-ci (une telle famille existe : pourquoi ?). On montre alors avec le début du raisonnement de Ahti que cette famille est nécessairement libre (par minimalité), donc une base de <math>\(E\)</math>, ce qui permet de conclure par cardinalité (on a évidemment <math>\((3) \Rightarrow (2)\)</math> et <math>\((3) \Rightarrow (1)\)</math> en même temps).

Dans le cas <math>\((2) \Rightarrow (1)\)</math>, il est difficile d'adapter « immédiatement » le raisonnement, car il faut justifier l'existence d'une sur-famille libre de cardinal maximal. C'est faisable si le corps de base est fini (alors <math>\(E\)</math> l'est aussi donc on peut borner le cardinal d'une famille libre par celui de <math>\(E\)</math>), ou avec le théorème de la base incomplète qui permet d'obtenir cette borne en restreignant les sur-familles. Ou alors on complète (par un corollaire du dit théorème, voir ²) la famille libre en une base, mais pour des raisons de cardinalité, on ne lui aura ajouté aucun vecteur, donc il s'agissait déjà d'une base (c'est sans doute ce qu'à voulu dire Ahti, bien que je ne comprenne pas la partie « les vecteurs rajoutés seront des combinaisons linéaires des précédents » — on n'ajoute aucun vecteur puisqu'on a déjà une famille du bon cardinal).

¹ : Avec la convention usuelle qu'une somme sur <math>\(\emptyset\)</math> est <math>\(0\)</math>, neutre pour l'addition.
² : On peut en fait utiliser le théorème de la base incomplète pour conclure dans ce premier cas ; considérer <math>\((e_i)_{1\leq i\leq n}\)</math> comme sur-famille génératrice de la famille vide qui est libre. Je propose une « autre » démonstration, valable dans le cas où « théorème de la base incomplète » est compris comme « Toute famille libre peut se compléter en une base ». Je vous encourage d'ailleurs à aller lire la page wikipédia sur le théorème de la base incomplète si c'est le cas pour vous, car il est en fait bien plus puissant que cela.