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carré parfait

    15 février 2020 à 9:53:00

    bonjour , voici un exercice dont  je n'ai pas compris la solution  ; voici l'énoncé : 

    n appartient à N,

    on pose  A=2^n +65 

    donner les valeur de n pour que A soit un carré parfait .

    Indication A=2^6 *(2^(n-6)+1) ;n supérieur à 6

    A=2^n *(2^(6-n)+1) ;n inférieur à 6

    Solution :

    si n=à A=66 donc n#0

    si n#0 par suite A est impair

    donc il existe k appartient à N tel que A=(2k+1)²

    en développant on obtient A-1=4k(k+1)

    si n supérieur à 6 

    d’après l'indication 

    2^6 *(2^(n-6)+1)=4k(k+1)

    2^4 *(2^(n-6)+1) =k(k+1)

    donc (et c'est ca que je n'ai pas compris , comment on a fait cette déduction ? ) k=2^4    et 2^(n-6)+1=k+1

    k=16 et  2^(n-6)=2^4 

    n-6=4

    en remplaçant avec n=10 on trouve A carré parfait

    de la même façon si n inférieur a 6 , on obtiendra n =4

    mais comme j'ai mentionné , je n'ai pas compris cette étape 

    Merci de bien vouloir m'expliquer 

    -
    Edité par PE-Belamy18 15 février 2020 à 9:59:26

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      15 février 2020 à 10:41:22

      Il faudrait voir le corrigé précisément , je ne pense pas que ce soit dit exactement comme tu le résumes.

      On cherche un couple (n,k) tel que 2^4(2^(n-6)+1) =k(k+1).

      Si on trouve des couples n,k) tels que 2^4=k et 2^(n-6)+1=k+1, alors c'est parfait, ces couples conviennent pour notre recherche.

      Mais rien ne dit qu'il n'y en a pas d'autre. On pourrait aussi chercher des couples tels que 2^3=k et 2(2^(n-6)+1)=k+1 ... ou plein d'autres possibilités.

      A ce niveau, on est sûr que la solution trouvée est bonne, mais rien ne dit qu'il n'y en a pas d'autres.

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        16 février 2020 à 2:20:13

        Salut,
        L'énoncé de départ est: A=2^n +65
        Or, 2^n est un nombre pair et 65 est impair.
        L'indication donne: A=2^6 *(2^(n-6)+1) ;n supérieur à 6
        Tel qu'écrit ici, c'est un nombre pair.
        A=2^n + 65 = 2^n + 64 + 1 = 2^n + 2^6 + 1
        Et on aura: A = 2^6 *(2^(n-6)+1) + 1  (il manqque le +1 final)
        Si A-1 = (2k+1)², j'aurai (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 4k*(k+1) + 1  (il manque encore le +1)
        Expérimentalement, j'ai testé de n=1 jusqu'à n=63 et les seules valeurs trouvées sont n=4 et n=10.
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        Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

        carré parfait

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