Bonjour,

Je cherche à calculer des coordonnées des points sur un plan. J'ai donc un point P avec un vecteur normal à partir duquel je calcul l'équation du plan.
Maintenant j'ai 4 points sur le plan (XY) qui forment un rectangle de largeur et longueur connus centré sur O et je voulais savoir comment calculer les coordonnées de ces points sur mon plan en considérant P comme l'origine du plan.
Autrement dit je voudrais que les 4 nouveaux points aient toujours la même distance entre eux et centré sur P.

Merci à ceux qui pourront m'aider

Bonjour,

Tu travailles vraisemblablement dans l'espace. O est-il le point origine du repère que tu utilises ? Ton plan peut être n'importe comment on dirait. Est-ce que O appartient au plan ? Si non, que signifie alors pour un rectangle de ce plan d'être centré en O ?

EDIT : OK, j'ai lu trop vite, tes points appartiennent au plan (Oxy), donc on peut bien définir un rectangle centré en O.
Par contre, ce que je ne comprends pas alors, c'est ce que tu entends par coordonnées des sommets du rectangle sur ton plan. Tu ne peux pas définir de coordonnées pour ces points s'il n'appartiennent pas au plan, par contre tu peux considérer leur projetés orthogonaux sur ton plan. C'est ce que tu veux faire ?

EDIT 2 : En fait, je crois commencer à comprendre. Tu veux juste reproduire le même rectangle mais sur ton plan, et centré en P ?

Dans ce cas, tu as donc tes quatre points <math>\(A(\alpha,\beta,0)\)</math>, <math>\(B(-\alpha,\beta,0)\)</math>, <math>\(C(-\alpha,-\beta,0)\)</math>, <math>\(D(\alpha,-\beta,0)\)</math> qui forment un rectangle de taille <math>\(2\alpha\)</math> par <math>\(2\beta\)</math> centré en O.
<math>\((\mathcal{P})\)</math> est un plan d'équation <math>\(ax+by+c=0\)</math> de vecteur normal <math>\(\vec{n}(a,b)\)</math>.
<math>\(P(x_0,y_0,z_0)\)</math> est un point de ce plan.

Pour parler de coordonnées sur <math>\((\mathcal{P})\)</math>, il te faut définir un repère <math>\(\mathcal{R}'=(P,\vec{u},\vec{v})\)</math>, avec <math>\(\vec{u}(x_u,y_u,z_u)\)</math> et <math>\(\vec{v}(x_v,y_v,z_v)\)</math> deux vecteurs orthogonaux de <math>\((\mathcal{P})\)</math>
Tu peux alors placer les points <math>\(A'(\alpha,\beta)\)</math>, <math>\(B'(-\alpha,\beta)\)</math>, <math>\(C'(-\alpha,-\beta)\)</math>, <math>\(D'(\alpha,-\beta)\)</math> (les coordonnées sont exprimées dans <math>\(\mathcal{R}'\)</math>)

Pour le point <math>\(A'\)</math>, cela signifie par exemple que :
<math>\(\overrightarrow{PA'}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\)</math>

Tu en déduis :
<math>\(\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OA'}&=&\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PA'} \\&=&x_0\vec{i}+y_0\vec{j}+z_0\vec{k} + \alpha(x_u\vec{i}+y_u\vec{j}+z_u\vec{k})+\beta(x_v\vec{i}+y_v\vec{j}+z_v\vec{k}) \\&=&(x_0+\alpha{}x_u+\beta{}x_v)\vec{i}+(y_0+\alpha{}y_u+\beta{}y_v)\vec{j}+(z_0+\alpha{}z_u+\beta{}z_v)\vec{k}\end{array}\)</math>

Donc les coordonnées de <math>\(A'\)</math> dans ton repère initial sont : <math>\((x_0+\alpha{}x_u+\beta{}x_v,\quad{}y_0+\alpha{}y_u+\beta{}y_v,\quad{}z_0+\alpha{}z_u+\beta{}z_v)\)</math>

Et tu raisonnes de la même manière pour les trois autres points.

Voilà. Mais l'orientation de ton rectangle <math>\(A'B'C'D'\)</math> sur le plan <math>\((\mathcal{P})\)</math> dépendra des vecteurs <math>\(\vec{u}\)</math> et <math>\(\vec{v}\)</math> que tu choisiras, je ne sais pas si tu as des conditions là-dessus.