Bonjour,

J'ai un problème de compréhension concernant la question de l'entretien des oscillations dans un circuit RLC série.
Mon cours dit simplement :

Citation

Les oscillations diminuent à cause de la perte d’énergie par effet Joule dans la résistance du circuit.
Pour compenser cette perte d’énergie, il faut insérer dans le circuit une source d’énergie.

A priori, on ne sait donc rien sur la forme et les propriétés de cette source d'énergie. D’après mes recherches sur Wikipédia, c'est un peu compliqué.

Maintenant, je trouve cette question dans un exo :

Citation

[...]

Partie B

On rajoute maintenant un condensateur de capacité C, en série dans le circuit précédent.

B.1

Décrire le phénomène qui se produit au cours du temps dans la bobine et le condensateur, au cours du temps, lorsqu’on ferme l’interrupteur.

B.2

S’agit-il d’oscillations libres, forcées ou entretenues ? (justifier)
Les oscillations sont-elles amorties ou non-amorties ? (justifier)

Ce que je sais :

B1 : Le système devrait se mettre à osciller (échange d'énergie entre C et L : le condensateur va remplir la bobine qui va remplir le condensateur et ainsi de suite)

En revanche, je suis dubitatif quant à la suite :

B2 : Le générateur de tension permet-il de compenser la perte d'énergie ? Je n'en sais trop rien, ce fichu générateur me perturbe, et même en admettant que les oscillations ne soient pas entretenues, je ne saurais vraiment pas prédire du comportement du système ici.

Qu'en dites vous ? Quel épisode ai-je loupé ?

Merci d'avance !

Bonjour,

• la bobine stocke l'énergie sous forme magnétique <math>\(E=\frac{1}{2}Li^2\)</math> et la rend au circuit, en fait la bobine c'est un fil très long qui retarde le courant.
• Le condensateur stocke l'énergie <math>\(E=\frac{1}{2}Cu^2\)</math> de par les armatures chargées +q et -q .
• Le générateur apporte de l'énergie mais à priori n'entretient pas les oscillations car à priori U= constante
• Les oscillations ou régime libre tendent vers 0

Tout cela se montre par le calcul !
Selon la loi des mailles:
<math>\(U=Ri+L\frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t}+u_{C}\)</math>
Puis
<math>\(i=C\frac{\mathrm{d}u_{C} }{\mathrm{d} t}\)</math>
Donc
<math>\(U=RC\frac{\mathrm{d}u_{C} }{\mathrm{d} t}+LC\frac{\mathrm{d}^{2} u_{C}}{\mathrm{d} t^{2}}+u_{C}\)</math>
Sous forme résolue:
<math>\(\frac{U}{LC}=\frac{R}{L}\frac{\mathrm{d}u_{C} }{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d}^{2} u_{C}}{\mathrm{d} t^{2}}+\frac{u_{C}}{LC}\)</math>
Posons
<math>\(\omega _{0} =\frac{1}{\sqrt{LC}}\)</math>
<math>\(\frac{2\xi }{\omega _{0}}=\frac{R}{L}\)</math>

On a donc
<math>\(\frac{U}{\omega _{0}^{2}}=\frac{2\xi }{\omega _{0}}\frac{\mathrm{d}u_{C} }{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d}^{2} u_{C}}{\mathrm{d} t^{2}}+\frac{u_{C}}{\omega _{0}^{2}}\)</math>
Ensuite le régime libre correspond à la solution de la partie homogène<math>\(0=\frac{2\xi }{\omega _{0}}\frac{\mathrm{d}u_{C} }{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d}^{2} u_{C}}{\mathrm{d} t^{2}}+\frac{u_{C}}{\omega _{0}^{2}}\)</math> de l'équation: cela se résout en

<math>\(u_{C,h}(t)=e^{-\xi \omega _{0}}(Acos(\omega _{0}\sqrt{1-\xi ^{2}})+Bsin(\omega _{0}\sqrt{1-\xi ^{2}}))\)</math>
Ce terme ou régime libre tend vers 0 pour t très grand !

Puis la solution complète est obtenue par l'ajout d'une solution particulière de l'équation complète:
<math>\(u_{C,p}(t)=U\)</math>

D'où la solution
<math>\(u_{C}=u_{C,p}(t)+u_{C,h}(t)=U+e^{-\xi \omega _{0}}(Acos(\omega _{0}\sqrt{1-\xi ^{2}})+Bsin(\omega _{0}\sqrt{1-\xi ^{2}}))\)</math>

Pour t très grand <math>\(u_{C}=u_{C,p}(t)+u_{C,h}(t)\sim _{t \to \infty }u_{C,p}(t)=U\)</math>
Donc les oscillations ne sont pas entretenues


Quant au compotement du condensateur et celui de la bobine, il y a différentes manières de le traiter :
La formule de l'énergie se touve en calculant la puissance instantanée reçue par le condensateur puis par la bobine
<math>\(P=u_{C}i=C\frac{\mathrm{d} {u_{C}}}{\mathrm{d} t}u_{C}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left [ \frac{1}{2} Cu_{C}^2\right ]=\frac{\mathrm{d} E_{condensateur}}{\mathrm{d} t}\)</math>
<math>\(P=u_{L}i=L\frac{\mathrm{d} {i}}{\mathrm{d} t}i=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left [ \frac{1}{2} Li^{2}\right ]=\frac{\mathrm{d} E_{bobine}}{\mathrm{d} t}\)</math>
On calcule Ebobine par:
<math>\(\frac{1}{2} Li(t)^{2}-\frac{1}{2} Li(0)^{2}=\int_{0}^{t}\frac{\mathrm{d} E_{bobine}}{\mathrm{d} t}dt=E_{bobine}(t)-E_{bobine}(0)\Rightarrow E_{bobine}(t)=\frac{1}{2} Li(t)^{2}\)</math>
Et
<math>\(\frac{1}{2} Cu_{C}(t)^{2}-\frac{1}{2} Cu_{C}(0)^{2}=\int_{0}^{t}\frac{\mathrm{d} E_{condensateur}}{\mathrm{d} t}dt=E_{condensateur}(t)-E_{condensateur}(0)\Rightarrow E_{condensateur}(t)=\frac{1}{2} Cu_{C}(t)^{2}\)</math>
Supposons l'interrupteur parfait
<math>\(E_{interupteur}(t)=0\)</math>
Pour la résistance, elle dissipe l'énergie par effet Joule
<math>\(P_{resistance}(t)=Ri(t)^{2}\)</math>

Bonjour,

Citation

Le générateur apporte de l'énergie mais à priori n'entretient pas les oscillations car à priori U= constante

a priori ? peut être que oui, peut être que non.
L'énoncé ne précise pas la nature de U ...
Mais en général , pour les exos sur les circuits RLC , on a plutôt tendance à alimenter le circuit en courant alternatif !
Auquel cas la conclusion sera évidemment différente

Dans le cas d'un régime sinusoïdal forcé avec la même hypothèse sur <math>\(\xi\)</math> on cherche <math>\(u_{C,p}\)</math> à l'aide de la notation complexe, (l'exo a l'air d'être un exo de terminale S donc bon), le circuit est un filtre du second ordre :
<math>\(\frac{U}{LC}=\frac{R}{L}j\omega u_{C} + u_{C}(j\omega )^2+\frac{u_{C}}{LC}\)</math>
<math>\(\frac{U}{uc}=(\frac{2j\xi \omega }{\omega _{0}} + \frac{(j\omega )^2}{\omega_{0}^2}+1)\)</math>

Soit en complexes:
<math>\(u_{c}=\frac{U}{\left [\sqrt{(1-\left (\frac{\omega }{\omega_{0} } \right )^2 )^2+(\frac{2\xi \omega }{\omega _{0}})^2 \right ]}e^{-Arg(\frac{2j\xi \omega }{\omega _{0}} + \frac{(j\omega )^2}{\omega_{0}^2}+1)}}\)</math>

Bonsoir,


Merci Blacktek pour la réponse détaillée. (à présent, j'ai l'impression d'avoir loupé 3/4 saisons plutôt qu'un épisode ).

Je confirme que U est bien continu en l’occurrence.

Citation : Blacktek

• Les oscillations ou régime libre tendent vers 0

Donc il y a effectivement des oscillations dans le circuit, mais oscillations libres (qui tendent vers 0), c'est bien ça ? Et le générateur, quel est son rôle dans tout ça ?

De plus, si U est constante et le courant continu, j'ai du mal à saisir comment peut-il y avoir en même temps des oscillations ? (et puis des oscillations de quoi au juste : je me rends compte maintenant que les oscillations de l'intensité et de la tension ne sont pas nécessairement liées, même si c'est l'impression donnée par le cours).

Citation : Blacktek

Tout cela se montre par le calcul !
[...]

J'ai essayé de suivre le calcul, mais j'avoue avoir perdu le fil vers le début de la résolution de l'équa diff. Au final, où-est-ce que ça nous mène, ce calcul ?

Pour moi ce sont des forcées, car il y a un générateur aux bornes du circuit RLC, les libres il n'y en auraient pas, les entretenues il y aurait un ALI.
Après c'est juste une supposition, je pense qu'elles sont amorties parce vu que le courant est constant, la variation d'intensité sera de moins en moins grande et donc la bobine s'opposera de moins en moins, et au final il n'y aura plus d'oscillations.

Je ne suis qu'en Terminale c'est à prendre avec des pincettes, à toi de juger mes propos.

Ce sont des oscillations libres (qui s'amortissent) le fait qu'il y ait un générateur continu ne change rien à l'affaire.
Elles seraient forcées si le générateur imposait sa fréquence et auto-entretenues si une "résistance négative" (un AO) compensait les pertes par effet Joule.

Citation : thomas

Elles seraient forcées si le générateur imposait sa fréquence et auto-entretenues si une "résistance négative" (un AO) compensait les pertes par effet Joule.

En quelque sorte le générateur impose sa fréquence qui est nulle ici ...

Citation : yoch

J'ai essayé de suivre le calcul, mais j'avoue avoir perdu le fil vers le début de la résolution de l'équa diff.

En effet, j'ai passé le détail de la résolution qui est hors programme en Terminale S car c'est du second degré... Enfin il y a deux ans c'était comme ça et pour le RLC on se contentait de vérifier que la solution fournie marchait.

Citation : yoch

Au final, où-est-ce que ça nous mène, ce calcul ?

Cela permet de répondre au questions avec des arguments non qualitatifs, ce qui permet de s'assurer de son raisonnement (Sinon on peut dire tout et n'importe quoi sans trop savoir pouquoi, même si ici on ne peut pas te demander le calcul...

Citation : Blacktek

Citation : thomas

Elles seraient forcées si le générateur imposait sa fréquence et auto-entretenues si une "résistance négative" (un AO) compensait les pertes par effet Joule.

En quelque sorte le générateur impose sa fréquence qui est nulle ici ...

Etant donné que les condo/self ne réagissent qu'à des variations de courant/tension, si la fréquence du générateur est "nulle" (pas de variations) alors le générateut n'a aucun effet sur le circuit. Il n'impose absolument pas sa "fréquence nulle" au circuit, la preuve c'est qu'il y a des oscillations (provoquée par l'interrupteur) et c'est la résistance (et non pas le générateur) qui les amortit.

L'impact du générateur c'est seulement de mettre un offset, et l'élément ici qui détermine la réponse du système c'est l'interrupteur.

Bon après c'est un peu du chipotage, mais c'est juste le fait que la commande soit un échelon qui créee les oscillations, mais c'est juste en régime permanent que le générateur impose un signal de la forme<math>\(U*exp(jwt)\)</math> où <math>\(w=0\)</math> le fait que la source soit causale joue sur le régime libre et non le régime permanent

Citation : Blacktek

Bon après c'est un peu du chipotage, mais c'est juste le fait que la commande soit un échelon qui créee les oscillations, mais c'est juste en régime permanent que le générateur impose un signal de la forme<math>\(U*exp(jwt)\)</math> où <math>\(w=0\)</math> le fait que la source soit causale joue sur le régime libre et non le régime permanent

Pendant le transitoire on a un échelon mais on pourrait aussi faire un (espèce de) peigne de dirac ou avec un autre 'interrupteur' on pourrait obtenir une rampe ce qui changerait la réponse du système. C'est surtout l'interrupteur qui joue.
D'ailleurs en mettant une "résistance négative" pour annuler l'effet Joule (qui est plutôt un parasite dans l'histoire), le régime "permanent" n'est plus du tout U_générateur(=cste) mais des oscillations à la fréquence propre du LC et on voit bien que le générateur ne fait que mettre un offset (et n'impose pas du tout sa "fréquence nulle")

Citation : yoch

B2 : Le générateur de tension permet-il de compenser la perte d'énergie ? Je n'en sais trop rien, ce fichu générateur me perturbe, et même en admettant que les oscillations ne soient pas entretenues, je ne saurais vraiment pas prédire du comportement du système ici.

Qu'en dites vous ? Quel épisode ai-je loupé ?

Le PO se demandait si le générateur continue apportait des changements dans la physique du phénomène (par rapport à une 'décharge' de RLC où il n'y a pas de pile dans le circuit) et la réponse est non (à part l'offset bien sûr).

Lorsque l'on met une résistance négative, on ne met pas de générateur généralement (multivibrateur astable compact), mais je suis d'accord pour l'effet de l'interrupteur...

> D'ailleurs en mettant une "résistance négative" pour annuler l'effet
> Joule (qui est plutôt un parasite dans l'histoire), le régime
> "permanent" n'est plus du tout Ugénérateur(=cste) mais des
> oscillations à la fréquence propre du LC

Si tu mets en équations tu verras qu'il y a 2 régimes possibles : soit il ne se passe rien (I et V = 0), soit ça oscille.

Il faut un bottage de cul pour que les oscillations démarrent, même si une résistance négative est présente dans le circuit.

Dans la réalité, la résistance négative est implémentée avec un AOP par exemple, et le bruit suffit à faire démarrer les oscillations.