Salut ;

Étant un peu curieux en mathématique, je me suis proposée dernièrement un nouveau problème, mais je crois avoir planté dans une étape, je vous explique par le schéma qui suit :



Ce que je cherche, c'est de trouver l'équation de la droite <math>\((D')\)</math> qui est l'image de la droite <math>\((D)\)</math> par la symétrie axiale par rapport a <math>\((P)\)</math>, tout en ayant l'équation de <math>\((D)\)</math> et de <math>\((P)\)</math> :

<math>\((D): ax+by+c=0\)</math>

<math>\((P): a'x+b'y+c'=0\)</math>

Et merci d'avance .

Salut,

Étant donné que tu étudies une symétrie axiale, à mon avis tu devrais te placer dans un plan complexe et trouver l'équation complexe de la similitude indirecte transformant l'ensemble D en l'ensemble D'.

Bonjour,

Un traitement plus simple, ne faisant appel qu'à des proptiétés élémentaires est peut être:

Soit <math>\(\[ M (x,y) \in (D): ax+by+c=0 \]\)</math> le point courant de (D).
Soit <math>\(\[ M'(x',y')\in D' \]\)</math> le point symétrique de M par rapport à (P).

On a <math>\(\[ \overrightarrow{MM'} \perp (P) \]\)</math> ce que l'on peut traduire par la nullité du produit scalaire suivant:
<math>\(\[ -b'(x-x')+a'(y-y')=0 \]\)</math>
avec <math>\(\[ (-b',a') \]\)</math> qui est un vecteur directeur de (P)
On écrit alors que le milieu de MM' se trouve sur (P) ce qui se traduit par:
<math>\(\[ a'\dfrac{x+x'}{2}+b'\dfrac{y+y'}{2}+c'=0 \]\)</math>
On a donc trois relations linéaires caractérisant la symétrie par rapport à (P) de M et M' ,point courant de (D').
L'élimination un peu fastidieuse à écrire littéralement mais élémentaire de x et y entre ces 3 relations conduit à une relation linéaire entre x'et y' qui est l'équation cherchée de (D').

Merci Nabucos, la méthode est assez ingénieuse , mois j'ai crus que ça aurait eu une relation avec les angles, les fonctions trigonométriques ... , j'avais fait fausse route .

On peut aussi chercher directement le vecteur normal <math>\(\vec{n''} = (a'',b'')\)</math> à <math>\((D')\)</math> qui est le symétrique de celui de la droite <math>\((D)\)</math> qu'on notera <math>\(\vec{n}\)</math>.

En notant <math>\(\vec{u}\)</math> et <math>\(\vec{v}\)</math> les projections respectives de <math>\(\vec{n}\)</math> selon <math>\((P)\)</math> et la direction orthogonale à <math>\((P)\)</math>, on a : <math>\(\vec{n} = \vec{u} + \vec{v}\)</math> et <math>\(\vec{n''} = \vec{u} - \vec{v} = \vec{n} - 2 \vec{v}\)</math>

On obtient facilement <math>\(\vec{v}\)</math> en utilisant le produit scalaire avec le vecteur normal <math>\(\vec{n'}\)</math> à <math>\((P)\)</math> : <math>\(\vec{v} = (\vec{n}.\vec{n'})\frac{\vec{n'}}{||\vec{n'}||^2} = \frac{a.a'+b.b'}{a'^2+b'^2}(a',b')\)</math>

On en déduit <math>\(a'' = a - 2\frac{a.a'+b.b'}{a'^2+b'^2}a'\)</math> et <math>\(b'' = b - 2\frac{a.a'+b.b'}{a'^2+b'^2}b'\)</math>

Enfin, on trouve le <math>\(c''\)</math> qui nous manque dans l'équation <math>\(a''x+b''y+c''=0\)</math> en calculant le point d'intersection de <math>\((D)\)</math> avec <math>\((P)\)</math> et en disant qu'il appartient à <math>\((D')\)</math> :

En utilisant les formules de Cramer (il y a vraiment que dans les systèmes à deux équations qu'elles sont réellement utiles) on trouve rapidement les coordonnées de <math>\(A'_1\left(\frac{c'.b-c.b'}{a.b'-a'.b} ; \frac{a'.c-a.c'}{a.b'-a'.b}\right)\)</math>

D'où <math>\(c'' = \left(2\frac{a.a'+b.b'}{a'^2+b'^2}a' - a\right)\frac{c'.b-c.b'}{a.b'-a'.b} + \left(2\frac{a.a'+b.b'}{a'^2+b'^2}b' - b\right)\frac{a'.c-a.c'}{a.b'-a'.b}\)</math>

Ce qui doit se simplifier un peu (on retrouve une formule analogue à celles pour <math>\(a''\)</math> et <math>\(b''\)</math>) :

<math>\(c'' = c-2\frac{a.a'+b.b'}{a'^2+b'^2}c'\)</math>

Voilà, en espérant ne pas avoir fait d'erreurs (contrairement à la méthode de Nabucos, ma démarche est illégale si les droites (D) et (P) sont parallèles même si le résultat final semble rester juste dans ce cas limite)