bonjour
je voudrais demontrer par recurrence cette proposition mais j y arrive pas
la voici
pour tout n apprentenant à N privé de 0
2! 4! ..... (2n-2)! (2n)! >ou égal à ((n+1)!)^n

merci bcp pr votre aide

salut, juste pour voir plus clair, c'est ce que tu veux montrer?
<math>\(\forall n \in \mathbb{N}^*, \prod\limits_{i=1}^{n}(2i)! \geq ((n+1)!)^n\)</math>

oui exact

Peux-tu nous montrer ce que tu as déjà tenté ?

J'ai un peu la flemme de chercher mais je pense qu'il faut soit travailler sur les calculs d'inégalités, soit travailler avec le fait que si <math>\(\frac{a}{b}\geq1\)</math> alors <math>\(a\geq b\)</math>. Après c'est peut-être pas ça du tout mais perso je partirais là dessus (en me servant bien de l'hypothèse de récurrence et de toutes les propriétés des factorielles que je connaisse).

Tu souhaites montrer par récurrence que <math>\(\forall n \in \mathbb{N}^*, \prod\limits_{i=1}^{n}\left(2i\right)! \geq {\left(\left(n+1\right)!\right)}^n\)</math>.

Ce serait intéressant de savoir sur quel point tu bloques, exactement, mais voici des éléments de réponse.


Il faut commencer par mettre en place ton raisonnement par récurrence.
Pour démontrer une proposition <math>\(P(n)\)</math>, le raisonnement se découpe comme ceci :

• Initialisation : On veut montrer que la propriété est vraie rang <math>\(n=0\)</math>.
• Hérédité : On montre que <math>\(\forall n \in \mathbb{N}^, P(n) \Rightarrow P(n+1)\)</math>
• Conclusion : On conclut en invoquant le principe du raisonnement par récurrence.

Dans ton cas, il va falloir initialiser à <math>\(n=1\)</math>.

Voici la structure de ta récurrence :

• Initialisation : On veut montrer que la propriété est vraie rang <math>\(n=1\)</math>.
  Il suffit de remplacer <math>\(n\)</math> dans la formule par <math>\(1\)</math> et vérifier que l'inégalité est bien vérifiée.
• Hérédité : Soit <math>\(n \in \mathbb{N}^*\)</math>. On suppose que <math>\(\prod\limits_{i=1}^{n}\left(2i\right)! \geq {\left(\left(n+1\right)!\right)}^n\)</math>.
  On souhaite montrer que <math>\(\prod\limits_{i=1}^{n+1}\left(2i\right)! \geq {\left(\left(n+2\right)!\right)}^n+1\)</math>.
  Pour cette démonstration, il faut bien utiliser la supposition !
• Conclusion : On conclut en invoquant le principe du raisonnement par récurrence.

alors voilà ce que je propose,
je vais supposer que la proprieté est verifié pour <math>\(1\)</math>.
soit <math>\(n \in \mathbb{N}^*\)</math> tel que <math>\(\prod\limits_{i=1}^n(2i)! \geq ((n+1)!)^n.\)</math>
<math>\(\prod\limits_{i=1}^{n+1}(2i)! = \prod\limits_{i=1}^n(2i)! \times (2n+2)!\)</math>
<math>\(\geq (2n+2)! \times \frac{((n+2)!)^n}{(n+2)^n}\)</math>
or <math>\((2n+2)! = (n+2)! \times (n+3)\times... \times (2n+2)\)</math>
<math>\(\Rightarrow (2n+2)! \geq (n+2)! \times (n+3) \times ... \times (2n+2)\)</math>
<math>\(\Rightarrow (2n+2)! \geq (n+2)! \times (n+2)^n\)</math> (car <math>\(2n+2 - (n+3) + 1 = n\)</math>) d'où <math>\((2n+2)! \times \frac{((n+2)!)^n}{(n+2)^n} \geq (n+2)! \times (n+2)^n \times \frac{((n+2)!)^n}{(n+2)^n} \geq ((n+2)!)^{n+1}\)</math>
ce qu'il fallait démontrer

EDIT. en effet rom1504, l'égalité est fausse, faute de frappe ^^^

Ta deuxième égalité est fausse : par exemple pour n=2 : 24*2*720=48*720 différent de 720*36