Bonsoir,

J'ai remarqué que de manière générale, il est assez difficile d'obtenir une matrice à diagonale strictement dominante avec un très fort conditionnement.

Auriez-vous une justification, un début de piste à explorer, ou carrément une explication sur ce phénomène ?

En fait, ce qui se cache derrière c'est l'étude de la stabilité de méthodes itératives de résolutions de systèmes linéaires dont une matrice à diagonale strictement dominante implique une convergence.

Merci à tous !

EDIT : En fait j'étends la question au rapport entre conditionnement fort et rayon spectral elevé, avec toujours le lien de la diagonale dominante.

Bonsoir,

...des souvenirs à valider
ma réponse aura peut être le mérite d'en susciter d'autres sur cette question pour l'instant sans réponse

Un conditionnement d'autant plus fort caractérise , il me semble, des matrices numériquement d'autant plus difficiles à inverser , à la limite une matrice singulière ayant un conditionnement "infini".

A contrario, on montre qu'une matrice à diagonale strictement dominante est toujours inversible. ( preuve= lemme d'Hademard, je crois ...) et présente donc un conditionnement favorable à un calcul numérique stable

Il y a donc a priori un antagonisme entre les deux concepts, et il est alors assez logique d'avoir les difficultés que tu soulèves

Effectivement, la démonstration de l'inversibilité d'une matrice à diagonale strictement dominante est assez simple.
Cette notion antagonique, je la vois bien, mais c'est vraiment une relation plus ou moins directe que je recherche entre mon rayon spectral, diagonale dominante et / ou conditionnement.

Merci bien dans tous les cas. Je me suis penché sur le problème aujourd'hui et j'avance plutôt pas trop mal.

Bonsoir,
...de mes "archives"
Si A inversible avec valeurs propres <math>\(\lambda_1 <\lambda_2<...<\lambda_n\)</math> , n'a-t-on pas simplement <math>\(c_2(A)=\frac{\lambda _n}{\lambda_1}\)</math> ( norme euclidienne puisque c dépend de la norme, <math>\(\lambda_n\)</math> étant directement relié au rayon spectral de <math>\(A^*A\)</math> (...racine (?))

Bonjour,

<math>\(cond(A) = \frac{\lambda _{n}}{\lambda _{1}}\)</math> uniquement si A est auto-adjointe.

C'est plus dans un cas général que j'aimerais une relation dans le même genre.

EDIT : coquille

D'ailleurs, si je trouve une relation entre les valeurs propres d'un produit de matrice et le produit des valeurs propres de deux matrices, alors je pense avoir une majoration du conditionnement par le rayon spectral.

Je pense que j'ai <math>\(\rho (A^{t}A) \leq \rho (A^{t})\rho(A)\)</math> et du coup je peux majorer mon conditionnement <math>\(cond^{2} \leq \rho(A)^2\rho(A^{-1})^{2}\)</math> et sachant que mon rayon spectral est inférieur à 1, cela ne me donne finalement aucune indication sur mon conditionnement...

Bonjour,

J'ai été un peu rapide en disant que les <math>\(\lambda\)</math> étaient valeurs propres de A, d'où ta remarque A auto adjointe.
Pour A inversible quelconque on doit considérer en fait pour cette relation le spectre (réel positif)<math>\(\lambda_1<\lambda_2<...<\lambda_n\)</math> de <math>\(AA^t\)</math> qui est le même que celui de <math>\(A^tA\)</math> ( ou <math>\(AA^*\)</math> si on est en complexe) et alors
<math>\(c_2(A)=\frac{\sqrt{\lambda_n}}{\sqrt{\lambda_1}}\)</math>

Par acquis de conscience j'ai vérifié sous Scilab qui calcule directement <math>\(c_2\)</math> que cette relation était bien exacte en calculant par ailleurs le spectre de <math>\(AA^t\)</math> pour une matrice assez grosse .

Je ne sais pas si c'est ce type de relation qui t'intéresse.