Voila on est la veille du bac et j'ai un gros doute sur quelques choses.
Beaucoup de gens me disent que la continuité implique la dérivabilité. Et bien qu'après avoir lu Poincaré sur "l'intuition mathematique" je sais qu'il existe des fonctions telles que les fonctions de Weirstrass qui sont continues mais irrégulières et donc non dérivable. Bref je pensai donc qu'a notre niveau au moins la continuité impliquai la derivabilité. Que nenni ! Selon ma prof de maths avec son exemple de la fonction racine carrée, continue sur [0;+infini[ mais non dérivable en 0. Alors bien sûr dit comme ca on peut verifier surement et comprendre pourquoi, mais je dois avoir un gros trou de memoire, comment peut-on demontrer la dérivabilité sur I ? Et imaginons une fonction continue sur I mais derivable sur I', COMMENT peut on avoir l'idée de verifier la derivabilité sur I' si on sait seulement qu'elle est continue sur I ?

La dérivabilité n'est pas équivalent à l'existence de(s) la(les) derivée(s) partielle(s) et encore moins à la continuité.
Dans ton cas, de fonctions à une variable, les différences sont minimes. Mais si tu continues les maths après le bac tu verras des fonctions à plusieurs variables, et la ça change pas mal de chose.

La dérivabilité implique la continuité de ta fonction, mais pas l'inverse

Pour prouver qu'une fonction est continue sur un intervalle I, il faut prouver que pour TOUT point x de ton intervalle I, la limite à "gauche" est égale à la limite à "droite" de ta fonction f(a) lorsque a tend vers x.

Pour prouver la dérivabilité sur un intervalle J, tu dois prouver que pour ton x qui appartient à J, ton taux de variation instantannée est un réel.

Tout d'abord, c'est la dérivabilité qui implique la continuité, pas l'inverse...
Et pour vérifier la dérivabilité, il suffit de voir quand la dérivée est définie... Du coup, tu peux remarquer rapidement que f est continue sur I et dérivable sur I'. Genre la fonction racine est continue sur [0,+infini[ mais sa dérivé est en 1 sur racine donc pas définie en 0 donc racine dérivable sur ]0,+infini[
Voilà, en espérant que ça t'ai aidé...

Ca m'éclaire merci pour l'aide, je vais bosser ca encore un peut ce soir ! Vekah, t'es à l'UPMC en MIME ? Je vais surement aller las-bas l'année prochaine donc oui je continue les maths après le bac

Sinon il me semble que dans les programmes de Ts on admet que certaines fonctions sont dérivables sur des Intervalles et que donc les produits, sommes, composées de ces fonctions sont aussi derivable sur un Intervalle qui me parait le plus souvent logique, peut-on appliquer cela dans tout les cas pour le bac en Ts ?

Citation : Vekah

Pour prouver qu'une fonction est continue sur un intervalle I, il faut prouver que pour TOUT point x de ton intervalle I, la limite à "gauche" est égale à la limite à "droite" de ta fonction f(a) lorsque a tend vers x.

ET est égal à l'évaluation de ta fonction en x.



Edit : Un indice 0 avait sauté

Citation : revan

Citation : Vekah

Pour prouver qu'une fonction est continue sur un intervalle I, il faut prouver que pour TOUT point x de ton intervalle I, la limite à "gauche" est égale à la limite à "droite" de ta fonction f(a) lorsque a tend vers x.

ET est égal à l'évaluation de ta fonction en x.

<math>\(f \text{ est continue en } x_0 \Longleftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x) = \lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x) = f(x)\)</math>.

C'est dans les conditions que tu cites.

Désolé mais c'est égal à <math>\(f(x_0)\)</math>

Citation : Zerda

C'est dans les conditions que tu cites.

Dans ce que je cite, je ne vois que

Il faut bien rajouter que ces limites sont égales à l'évaluation de la fonction en <math>\(x_0\)</math>, car on peut avoir


et dans ce cas on n'aura pas continuité !

Leirbmu : merci, l'indice 0 s'était fait la malle !