Bonjour à tous

Je viens vers vous avec une incompréhension de ma part sur l'écriture d'un vecteur (ou dans champ vectoriel) en coordonnées cylindrique. Je m'explique, en coordonnées cartésiens dans un repère dans centre O ayant un point M aux coordonées (x,y,z) on note le vecteur OM = x ex + y ey + z ez, avec la comme base (ex,ey,ez).

En coordonnées cylindrique on note ce point M en substituant à (x,y,z) les variable (p,a,z) avec p le rayon de la base du cylindre, a l'angle (x,OM') avec M' la projection de M sur le plan xOy et z la hauteur. Dans ce cas pourquoi on dit que le vecteur OM = p ep + z ez et non pas OM = p ep + a ea + z ez?

Une autre question. Pourquoi en coordonnées cartésiens le repère est global alors qu'en cylindre il est dit local (concrètement ça implique quoi de différent)?

Je vous remercie par avance.

Pour la 1ère question, essaie de faire un dessin, je pense que c'est la meilleure chose. Ca va être compliqué de trouver es mots précis pour te faire comprendre, sans passer par un dessin.

En fait, on dit que OM = OM'+M'M ( la relation de Chasles , OM OM' et M'M sont des vecteurs).

OM', c'est p ep ; et M'M, c'est z ez.

Je suis moyennement d'accord avec les notations ep et ez, mais pourquoi pas.

Avec le dessin je le conçois et le vois parfaitement. Le problème c'est que je l'accepte pas dans le sens où j'ai l'impression qu'on permet une information. Le vecteur où p = 1 et z = 1 c'est tout un cercle de hauteur 1 et de rayon 1. Où est alors l’information de l'angle.

"Je suis moyennement d'accord avec les notations ep et ez, mais pourquoi pas." Peux-tu expliciter le pourquoi s'il te plaît?

Merci pour ton intervention

la notation habituelle, quasi-universelle, c'est \(r\) ou \(\rho\) pour le rayon du cylindre , et une lettre grecque pour l'angle, en général \(\theta \) parfois ,  \(\varphi \).\(\psi\) ou \(\varphi\) sont le plus souvent utilisés pour le second angle en coordonnées sphériques.

Après si on les définit clairement, on peut utiliser n’importe  quelle notation, mais celles indiquées sont celles que tu trouveras dans l'immense majorité de ouvrages scientifiques.

Comme l'a indiqué tbc92, on peut voir que par la relation de Chasles, on aura \(\overrightarrow{OM}=r\vec{e}_r +z\vec{e}_z\).

L'absence de l'angle peut surprendre mais, en fait, le repère cylindrique est un repère local "embarqué" avec le point M, et l'information angulaire est implicitement donnée par l'expression de la base cylindrique  exprimée en fonction de la base du repère cartésien.

Tous calculs faits, on aura en effet:

\( \vec{e}_r = \cos(\theta) \vec{e}_x + \sin(\theta)\vec{e}_y\) 

\(\vec{e}_{\theta}= -\sin(\theta)\vec{e}_x +\cos(\theta) \vec{e}_y\)

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Edité par Sennacherib 11 août 2019 à 10:10:32

Bonjour,

Dans ce cas pouvez-vous m'expliquer la notion de repère local s'il vous plaît ?

Je sais que le repère cartésien est global et cylindrique local. Cela s'explique du fait que quelque soit le point M dans un plan cartésien la direction des vecteurs ne change pas ? Alors que pour des coordonnées cylindrique si vu que la base est circulaire?

Quelque chose que je ne saisie pas. J'ai compris que le vecteur OM s'écrit comme vous l'avez énoncé ci-dessus. En revanche j'ai lu dans http://www.fresnel.fr/perso/stout/electromag/Coordonnees_curviligne.pdf page 2, que le vecteur dans ce repère local s'écrit en faisant apparaître le vecteur unitaire de l'angle pourquoi?

Merci d'avance.

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Edité par QuentinEtudiantgeii 12 août 2019 à 19:25:20

Dans les coordonnées classiques, on a un repère ( c'est ça qui vient en 1er), puis on a un Point M(x,y,z)  : OM = x ex + y ey+ z ez.

Dans les coordonnées cylindriques, c'est l'inverse. 

On a notre repère avec nos 3 axes x, y, z et l'origine O. 

On a notre point M. Et on ne s'intéresse plus aux axes Ox et Oy, on les oublie.

On garde l'axe Oz.

On construit le point M', projection de M sur le plan passant par O et perpendiculaire à Oz. 

Puis on construit un vecteur 'normé' ep, de telle sorte que OM' = p ep. On pourrait aussi construire un autre vectuer eq, dans le plan en question, et perpendiculaire à ep. Généralement, on va le construire, ce vecteur eq.

L'espace est donc muni de ce repère (ep, eq, ez), et les coordonnées de M sont (p, 0, z) : OM = p ep + 0 eq + z ez.

Le repère (p,eq, ez) a été bâti à partir de M, c'est pour ça qu'on parle de repère local.

Merci mais donc un vecteur se note OM = r er + z ez ou OM = r er + a ea + ez. Ta réponse à un lien avec : "Quelque chose que je ne saisie pas. J'ai compris que le vecteur OM s'écrit comme vous l'avez énoncé ci-dessus. En revanche j'ai lu dans http://www.fresnel.fr/perso/stout/electromag/Coordonnees_curviligne.pdf page 2, que le vecteur dans ce repère local s'écrit en faisant apparaître le vecteur unitaire de l'angle pourquoi?" ?

Moi j'ai compris qu'un vecteur OM = r er + z ez, et que la notion d'angle est comprise dans le vecteur unitaire er car le repère est local et donc que er change de direction en fonction de l'angle a. On a ea = cos(a) ex + sin(a) ey.

Petite question sur les coordonnées polaires.

Un point en coordonnées polaires peut s'écrire z=p(cos(phi)+jsin(phi)) dans un plan complexe. Mais si le plan n'est pas complexe on peut juste renseigner le point M avec ces coordonnées (on peut pas l'écrire avec la somme de sin et cos?)

Merci

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Edité par QuentinEtudiantgeii 13 août 2019 à 2:20:13

attention, ne pas confondre le vecteur particulier  \(\overrightarrow{OM}\) qui relie l'origine du repère cartésien à celle du repère local en M. On voit bien sur la figure i.2 que ce vecteur est par construction dans un plan perpendiculaire à \(\vec{e}_{\theta}\) et donc que la composante sur ce vecteur unitaire est nulle.

Par contre, ensuite ( bas de la page 2),  on écrit un vecteur \(\vec{E}(M)\) qui est un vecteur quelconque d'origine M, supposé représenter le champ électrique en ce point. Il a dans le cas général des composantes quelconques non nulles sur chaque vecteur unitaire de la base locale, comme il a des composantes non nulles sur chaque vecteur unitaire de la base cartésienne. 

Il y a une relation entre les composantes dans chaque repère obtenue facilement en utilisant la matrice de passage d'un repère à l'autre, qui découle des relations 1.1 du document.

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Edité par Sennacherib 13 août 2019 à 14:29:06

Donc si je comprend bien, si le repère local se trouve à l'origine O, alors les vecteurs auront les composantes décrite comme celle du champ électrique?

En faite un vecteur OM s'écrit toujours par construction r er + z ez car c'est un vecteur position (il indique la position du repère?) mais ce vecteur est un vecteur particulier amenant au repère local en M dans lequel les vecteurs sont représentés avec les 3 composantes ?

Je dirais pour me rappeler de ça, que je ne doit pas confondre la représentation du vecteur liant le point d'application ou se situe le repère local avec la représentation de ce vecteur dans ce repère local. En coordonnées cartésiennes le repère est global donc il n'y a pas de problème, lorsque le repère devient local cela est différent.

Pour bien comprendre la représentation j'ai essayer de positionner un vecteur dans le repère embarqué. J'ai donc crée un vecteur a(M) = 1ep + 1eq + 1ez (q correspond à phi). Si je veux le représenter en coordonnées cartésiens alors j'utilise les formules que Sennacherib a énoncé.

a(M) = (cos(q)ex + sin(q)ey) + (-sin(q)ex + cos(q)ey) + ez

Mon repère local se trouve à la position (1,90°,1). Donc q = pi/2.

Alors a(M) = ey - ex + ez

Le résultat est juste ?

Merci

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Edité par QuentinEtudiantgeii 14 août 2019 à 12:25:52

je pense que tu n'as pas vraiment compris l'idée de base locale. L'angle \(\theta\) est celui du point M où tu construis ta base locale dans le repère cartésien. Il est arbitraire ! C'est un point M donné où tu cherches à connaitre les composantes du champ dans les deux repères . Il ne se calcule pas comme tu tentes de le faire amis sert au calcul .

Je fais un schéma pour tenter d'expliquer.Je me limite à 2D coordonnées polaires puisque z est le même dans les deux repères

On se donne donc M. Sur ma figure \(\theta \sim 34°42\). J'ai construit le vecteur \(\vec{E}\) de composantes (1,1) dans la base locale que j'ai donc construit  en M  \( \vec{E}=\vec{e}_r +\vec{e}_{\theta}\) .... jusque là je suis d'accord avec toi.

 Maintenant les composantes de ce vecteur  dans la base cartésienne sont les projections de \(\vec{E}\) sur Ox et Oy selon les formules que tu indiques mais où il faut y faire \(\theta \sim 34°42\).

On trouve alors, tout calcul fait , arrondissant à deux décimales,  \(\vec{E}=0.26 \vec{e}_x+1.39 \vec{e}_y\) ( on peut voir que cela correspond bien aux deux segments en rouge sur ma figure.

ce que tu dis ci-après est alors pour moi incompréhensible ... quel est ton raisonnement pour conclure cela ?

QuentinEtudiantgeii a écrit:

 Mon repère local se trouve à la position (1,90°,1). Donc q = pi/2.

Alors a(M) = ey - ex + ez

Le résultat est juste ?

Merci

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Edité par QuentinEtudiantgeii il y a environ 3 heures

remarque

il est possible que ta difficulté vienne d'une mauvaise appréhension de ce que représente un système de coordonnées curvilignes qui est , dans toute sa généralité, une question un peu délicate selon ton niveau actuel, surtout si on commence à chercher à calculer ensuite les dérivées des fonctions vectorielles en chaque point du repère curviligne .( tu sais sans doute , peut-être ?, que les fonctions gradient, divergence, laplacien etc...sont plus compliquées dans un système curviligne, et il y en a de plus compliqué que le cylindrique, ne serait ce que les coordonnées sphériques). 

Un système curviligne est un ensemble de courbes sans singularité  ( ici des cercles et des droites) qui quadrillent l'espace pour un repérage biunivoque ( en bijection avec le repérage cartésien). En chaque point, il passe trois courbes, il y a un repère local en chaque point et les vecteurs de bases locaux sont les vecteurs unités tangents en chaque point de l'espace  au système de courbes de repérage 

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Edité par Sennacherib 14 août 2019 à 17:07:54

Je te remercie! 

Je pense avoir compris, juste je me suis mal expliqué... Car j'ai effectué ton exemple à la main et j'ai pareil ! Voici un exemple que j'ai fait :

Ceci est-il juste?

Merci !