Bonjour,

Après quelques recherches infructueuses, je me tourne vers vous pour vous faire part d'un problème en géométrie dans l'espace. Il m'a l'air simple à résoudre, pourtant je n'ai trouvé aucune réponse intéressante : on ne parle que de déterminer les coordonnées d'un plan dans l'espace (mauvais mots-clés rentrés sur Google ?)

Bref, mon problème est le suivant :

J'ai un point défini dans un plan par des coordonnées (X_plan, Y_plan). Si j'ai par exemple l'équation cartésienne de ce plan dans l'espace, m'est-il possible de trouver la coordonnée en 3D de mon point dans l'espace ? (Du type (X_espace, Y_espace, Z_espace))

Merci d'avance pour vos réponses, et en espérant m'être fait comprendre !

Salut!

Je crois comprendre ton problème mais ce n'est pas très clair. Qu'entends-tu par (X_plan, Y_plan)? C'est les coordonnées de ton point dans un repère (plus ou moins arbitraire) de ton plan? Dans ce cas il te faut les coordonnées dans l'espace (R^3) j'imagine des vecteurs de base qui forment le repère de ton plan, ainsi que de l'origine.

Par exemple si dans ton plan tu considères le repère (C, u, v) où C est un point de l'espace de coordonnées (a,b,c) et donc dans ce repère du plan (0,0) et que tes vecteurs u et v sont non colinéaires (donc forment bien une base), de coordonnées (x_u, y_u, z_u) et (x_v, y_v, z_v) dans l'espace, tu peux noter M le point que tu considères.

Alors tu as OM(vecteur)=X_espace*e1+Y_espace*e2+Z_espace*e3 (où e1, e2, e3) est la base de l'espace que tu considères.

Et tu as OM=OC+CM= a*e1+b*e2+c*e3+X_plan*u+Y_plan*V=(a+X_plan*x_u+Y_plan*x_v)*e1+(b+X_plan*y_u+Y_plan*y_v)*e2+(c+X_plan*z_u+Y_plan*z_v)*e3

Et il ne te reste plus qu'à égaliser les scalaires devant e1, e2 et e3.

Donc X_espace=(a+X_plan*x_u+Y_plan*x_v) et etc...

J'espère ne pas avoir fait de fautes dans les indices, et que c'est bien cela que tu voulais!

Le souci, c'est que tes coordonnées \( (X_{plan};Y_{plan})\) dépendent d'un repère bien précis, c'est à dire la donnée d'un point origine et de deux vecteurs non colinéaires (ce que l'on appelle une base, une "petite" famille de vecteurs pouvant générer l'espace considéré, ici un plan). Pour convertir ces coordonnées en coordonnées 3D, il te faut un repère pour ton espace 3D, soit un deuxième point origine et une deuxième base (trois vecteurs libres ici). Il te faut ensuite connaître les coordonnées 3D de l'origine et des vecteurs formant le repère 2D. Ensuite, c'est uniquement du calcul de coordonnées vectorielles.

Je reprends les formules de fonfonx pour plus de clarté. Si ton point est M(x;y), que \((O ; \vec u ; \vec v)\) forme le repère 2D et \((O' ; \vec e_1 ; \vec e_2 ; \vec e_3)\) le repère 3D alors les coordonnées 3D de M sont données par:

\(\vec {OM} = \vec {OO'} + \vec {O'M}\)

\(\vec {OM} = \vec {OO'} + x \times \vec u + y \times \vec v\)

Il suffit d'effectuer ces calculs à l'aide des coordonnées 3D et c'est gagné.

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Edité par Kaji9 9 avril 2014 à 2:25:31

Bonjour,

Ah désolé si la question était peu claire, même si visiblement vous avez tout à fait compris ce que j'attendais ! Je n'avais pas envisagé cette approche et en effet elle convient vraiment bien à mon problème. Merci beaucoup pour l'aide !