Salut les zéros !

Je viens à vous aujourd'hui avec un petit problème qui me casse la tête depuis ce matin. Je suppose que je passe à coté de l'évidence mais je n'arrive à pas à le résoudre. Voici ce que je recherche :

Je souhaite obtenir l'équation du cercle obtenu par l'intersection d'une sphère et de toutes les tangentes à cette sphère passant par un point P extérieur à la sphère.

Il me semble que cela revient à faire l'intersection d'un cône et d'une sphère.
Pour ma part, j'envisagerais de faire un changement de repère de telle sorte que l'axe (OP) soit l'axe des abscisses (avec O le centre de ta sphère). En utilisant la condition de tangence des génératrices du cône avec la sphère, il serait alors plus simple d'exprimer l'équation du cercle dans ce repère.
Après, je n'ai pas mené les calculs, c'est juste une piste de réflexion...

Si M est un point du cercle, alors le triangle MOP est rectangle en M. Ça implique que le cercle est l'intersection de la sphère de centre O et de celle de centre Q=(O+P)/2

Pour ma part, je penserais a trouver un seul point de ce cercle et puis le projeter sur la droite (PO) , et voila tu a le centre qui est la projection précédente et le rayon déterminé par le point que tu as .

Le point M est à l'extérieur de la sphère sinon le problème serait bien plus simple.

"Il suffit" de trouver un point. Je veux bien mais comment ?

Prenons l'idée de trouver (la description d')une tangente à ta sphère passant par P.

Si tu te places dans un plan qui contient la droite (OP), cela revient à chercher une tangente (PM) à un cercle de centre O passant par P.

Tu dois avoir (PM) perpendiculaire à (OM) ; exprimé sous forme de produit scalaire, ça devrait te permettre de trouver les coordonnées du point M.

Soit M' le symétrique de M p.r.à (PO). [MM'] est alors un diamètre du cercle que tu cherches. Facile désormais de connaître le centre et le rayon.

edit : à rajouter à l'équation obtenue par produit scalaire : l'équation traduisant que OM = R, le rayon du cercle. Prendre O (le centre du cercle) comme origine du repère et P sur l'axe des abscisses simplifie énormément les calculs !

C'est la piste que j'avais évoquée, mais c'est sûr que sebsheep a mieux expliqué !