bonsoir, je me posais la question suivante
peut-on simplifier l'expression suivante ?
<math>\(\sum_{k = 0}^n \sin(kx) , x \in \mathbb{R}\)</math> (par exemple en donnant une expression qui dépend que de n)

Oui, je pense que tu peux t'en sortir en prenant la partie imaginaire de la somme des exp(ikx) , que tu calcule en remarquant que c'est une somme de suite géométrique.

Ça m'a l'air correct. En revanche, tu n'as pas forcément besoin de passer par la dérivée puisque <math>\(\sum_{k=0}^n k\,a^k\)</math> se calcule assez facilement :

<math>\(X = \sum_{k=0}^n k\,a^k \implies X + (n+1)\,a^{n+1} - aX = a\cdot\sum_{k=0}^n a^k ~\overset{a\neq 1}{=}~ a\cdot\frac{a^{n+1}-1}{a-1}\)</math>

<math>\(\implies X = \frac a{1-a}\cdot \left(\frac{a^{n+1}-1}{a-1} - (n+1)\,a^{n}\right) ~\mathrm{,~si}~a\neq1\)</math>

et <math>\(X = \sum_{k=0}^n k = \frac{(n+1)\cdot n}{2} ~\mathrm{,~si}~a = 1\)</math>

Voici une proposition de correction

Soit <math>\(x \in \mathbb{R} \setminus 2 \pi \mathbb{Z}\)</math>,
<math>\(\begin{align}\sum_{k = 0}^n \sin(kx)&=\sum_{k = 0}^n \Im{(e^{ikx})} \\&=\Im{\left(\sum_{k = 0}^n e^{ikx}\right)} \\&=\Im{\left(\frac{e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix}-1}\right)} \\&=\Im{\left(\frac{e^{\frac{i(n+1)x}{2}}\left(e^{\frac{i(n+1)x}{2}}-e^{-\frac{i(n+1)x}{2}}\right)}{e^{\frac{ix}{2}}(e^{\frac{ix}{2}}-e^{-\frac{ix}{2}})}\right)} \\&=\Im{\left(\frac{e^{\frac{inx}{2}}\times\sin{\left(\frac{(n+1)x}{2}}\right)}{\sin{\frac{x}{2}}}\right)} \\&=\frac{\sin{\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}}{\sin{\frac{x}{2}}}\Im{\left(e^{\frac{inx}{2}}\right)} \\&=\frac{\sin{\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}\sin{\frac{nx}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}} \\\end{align}\)</math>

Maintenant si <math>\(x\in 2 \pi \mathbb{Z}\)</math>,

<math>\(\sum_{k = 0}^n \sin(k2\pi)=0\)</math>

Donc au final on a :
<math>\(\sum_{k = 0}^n \sin(kx) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\sin{\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}\sin{\frac{nx}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}} & \mbox{si }x \notin 2 \pi \mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{si }x \in 2 \pi \mathbb{Z} \\ \end{array}\right.\)</math>

Bonne journée

Citation

Ça m'a l'air correct. En revanche, tu n'as pas forcément besoin de passer par la dérivée puisque se calcule assez facilement :

le truc c'est que l'exercice porte sur la derivation donc je dois faire avec ..

Citation

Voici une proposition de correction

le symbole à la première égalité devant exp(ikx), quelle est sa signification ?
mais en suivant le conseil de rom1504, j'ai bien retrouvé le même résultat à la fin

C'est le symbole de la partie imaginaire d'un nombre complexe

symbole latex ?

Pour faire ce symbole en LaTeX, c'est \Im. (très original )