Bonjour,

Je fais un exo d'annale sur la décharge d'un condensateur, et je me retrouve à un moment avec un résultat différent du cours, avec à la clé un problème de signe à la fin.

Voici la question :

Citation

Établir l’équation différentielle reliant la charge <math>\(q\)</math> du condensateur et sa dérivée <math>\(\frac{dq}{dt}\)</math>.
(Remarque : l’intensité du courant dans le circuit est définie ici par la relation <math>\(i = -\frac{dq}{dt}\)</math>, puisque le courant est associé à la décharge du condensateur).

a priori, la remarque est censée aider, mais elle fausse mes calculs que voici :

<math>\(q = C \cdot u_C\)</math>

<math>\(i(t) = - \frac{\text{d}q}{\text{d}t} = - C \frac{\text{d}u_C}{\text{d}t}\)</math> (le signe de mon résultat ici est différent de ce qu'il y a dans mon cours )

<math>\(u_R + u_C = 0\)</math> et <math>\(u_R = R i\)</math>, donc :

<math>\(u_C - R C \frac{\text{d}u_C}{\text{d}t} = 0\)</math> (idem)

Et finalement, j'arrive à <math>\(u_C(t) = U_0 e^{\frac{t}{RC}} \Rightarrow C = \frac{t}{R \cdot \ln{\left( \frac{U_t}{U_0} \right)}}\)</math>, et je trouve une capacité négative pour le condensateur, ce qui est foireux...

Pouvez vous m'aider à trouver mon erreur, svp ?

Merci !

Salut,
une piste de reflexion possible :

Si <math>\(i=-\frac{\text{d}q}{\text{d}t}\)</math>, est tu sûr que <math>\(q=C\cdot U_c\)</math> ? Reflechis surtout aux conséquences sur le signe d'un tel résultat.

Dans <math>\(q=C\cdot U_c\)</math>, quel est le signe de <math>\(U_c\)</math> ? Celui de <math>\(q\)</math> ? Est-ce compatible ? Fait un schéma si besoin.

Ah, je crois comprendre : le signe de <math>\(u_C\)</math> est négatif, car le courant circule dans le sens inverse qu'en charge aux bornes du condensateur. Et le signe de <math>\(q\)</math> est toujours positif. Donc en fait <math>\(q = C \cdot - u_C\)</math>.

Donc l'intensité et la tension sont des grandeurs algébriques, alors que le coulomb sera toujours positif ? Sinon, pourquoi considère on que <math>\(i=-\frac{\text{d}q}{\text{d}t}\)</math> ?
Ça parait louche tout de même, surtout que le coulomb est une unité dérivée (<math>\(A \cdot s\)</math>). [Enfin bon, je n'ai qu'une idée vague et probablement inexacte de ce qu'est exactement une unité dérivée]

Le pire, c'est que dans le cours, <math>\(i(t)\)</math> vaut toujours <math>\(\frac{\text{d}q}{\text{d}t}\)</math> (même en décharge)...

Ton cours et l'exercice doivent surement adopter des conventions de signe différentes (cf convention récepteur/générateur). C'est pour ça qu'il est préférable de donner le schéma avec les différentes grandeurs représentées.

Pour moi, l'erreur se situerait plus au niveau de <math>\(u_R+u_C=0\)</math> (ou alors de <math>\(u_R=Ri\)</math>), mais je ne peux pas en être sur sans le schéma. En effet, je verrais plutôt le condensateur en convention générateur et la résistance en convention récepteur, ce qui donnerait <math>\(u_R=u_C\)</math>.

Citation : rushia

Ton cours et l'exercice doivent surement adopter des conventions de signe différentes (cf convention récepteur/générateur). C'est pour ça qu'il est préférable de donner le schéma avec les différentes grandeurs représentées.

Mon cours adopte toujours la convention récepteur pour le condensateur. Et l'ennui avec l'exo, c'est que la convention adoptée n'est absolument pas précisée.

Voici l'énoncé (texte intégral, il n'y a pas de schéma , et les question n'apportent pas de précisions supplémentaires) :

Citation : rushia

Pour moi, l'erreur se situerait plus au niveau de <math>\(u_R+u_C=0\)</math> (ou alors de <math>\(u_R=Ri\)</math>), mais je ne peux pas en être sur sans le schéma. En effet, je verrais plutôt le condensateur en convention générateur et la résistance en convention récepteur, ce qui donnerait <math>\(u_R=u_C\)</math>.

Effectivement, en posant <math>\(u_R=u_C\)</math> les calculs suivants sont OK.

Mais un truc me perturbe : si la définition de l'intensité A est liée à celle de la charge Q, comment justifier un truc comme <math>\(i=-\frac{\text{d}q}{\text{d}t}\)</math> ? C'est parce que <math>\(i\)</math> est donné pour la résistance alors que <math>\(q\)</math> est donné pour le condensateur [dans ce cas, ce serait super imprécis, leur remarque] ?

À mon avis, la remarque <math>\(i=-\frac{dq}{dt}\)</math> serait la pour signaler qu'on se place en convention générateur pour le condensateur. C'est à dire que <math>\(i\)</math> n'est plus dirigé vers la borne du condensateur portant la charge <math>\(+q\)</math> mais dans l'autre sens (d'ou le changement de signe).
Pour résumer ça donnerait (dsl pour les schéma, j'essayerais d'en faire de mieu demain, mais je suis sur iPhone pour le moment) :
Convention récepteur (ton cours) :
...i. .+q| |-q
---->----| |--------
.........| |
<-------------------
..........Uc
On a alors <math>\(CU_c=q\)</math> et <math>\(i=\frac{dq}{dt}\)</math> (en effet, avec les mains, on voit que si <math>\(q\)</math> augmente, c'est qu'on a ajouter des charges positives, charges positives qui ont du se déplacer dans le sens du courant. À l'inverse, si <math>\(q\)</math> diminue, c'est que des charges positives se sont déplacer dans le sens inverse de <math>\(i\)</math>, ce que traduit bien la formule)
Convention générateur :
On change juste le sens de courant, dans les équations si dessus, la seule transformation est donc que <math>\(i\)</math> change de signe.

Ça me va très bien comme explication, super, merci !