Bonjour,

J'aurais voulu connaître la définition rigoureuse mathématiquement de l'angle. C'est à dire autre chose qu'une simple approximation correspondant à la mesure effectuée à l'aide d'un rapporteur. Comment est introduite et construite, de manière rigoureuse, la notion d'angle ainsi que sa mesure ? Quel raisonnement doit-on avoir pour construire cet outil mathématique, qui que je sache ne sort pas d'un chapeau : il résulte forcément d'un raisonement et d'une construction rigoureuse, cela me semble inévitable.

D'avance merci.
Bisous.

La définition la plus rigoureuse qui me vient c'est la définition du radian : 1 rad c'est l'angle formé par un arc de longueur le rayon de ton cercle.

Angle#Enfin_une_vraie_mesure_d.27angles
Attention, pour définir rigoureusement un angle, il faut aller un peu plus loin que ce que tu connais probablement.

@Katastrophe : Mon prof avait évoqué ceci quand je lui avais posé la question. Mais cette réponse ne me semble pas satisfaisante. Dans la mesure où tu ne me donnes en fait que des précisions sur la mesure de l’angle. Tu fais appelles dans la définition que tu me donnes à la notion d’angle. Or on m’a toujours dit qu’en mathématique on démontrait tout, et on construisait tout. Je n’ai jamais entendu parlé de définition rigoureuse de l’angle, et internet ne m’a jamais offert de réponse.

Je ne sais pas si je suis assez explicite dans ce que je demande, ni même si je suis en droit d'exiger aussi fermement une réponse. Ce que je cherche c'est comprendre comment on construit l'outil mathématique qu'est l'angle. Quel est son fondement, au delà justement des notions de mesure, même si je pense que ces notions sont très liées. Je ne sais pas vraiment comment appréhender la chose en fait, puisque depuis que l’on est tout jeune on ne nous a jamais défini clairement l’angle. Généralement il s’agit d’utiliser bêtement son rapporteur sans vraiment aller au fond.

Ce que je cherche ce sont les fondements de l’angle en géométrie euclidienne. Une approche précise qui avec rigueur construit le concept.

EDIT : @Maxibolt, j'avais pourtant survolé l'article wikipédia sans trouver quoi que ce soit de satisfaisant. Ce que tu me donnes semble intéressant bien que visiblement très condensé. En effet, cela fait appel à des connaissances que je n'ai pas, visiblement. Mais si le sujet m'interesse il n'y a pas de raison que mes connaissances scolaires soient un frein à ma soif de connaissance. C'est d'autant plus palpitant et intéressant, je trouve.

Hum, il faut quand même faure attention à quelque chose : on ne prouve pas une définition. Par définition, [...].

Bonjour,
Une définition un peu formelle en géométrie élémenbtaire pourrait être la suivante:
Pour définir l'angle entre OA et OB, on considère un cercle arbitraire de centre O et de rayon R qui coupe les droites OA et OB en P et Q.
Si on pose <math>\(\[ L=\widehat{PQ} \]\)</math>, longueur de l'arc de cercle PQ, alors la grandeur <math>\(\[ \alpha=\frac{L}{R} \]\)</math> est indépendante du cercle choisi est appelée angle entre OA et OB.

La notion générale d'angle se définit dans les espaces vectoriels munis d'un produit scalaire.
On la retrouve, par ce biais, dans notre espace 3D euclidien usuel, avec l'expression classique du produit scalaire de 2 vecteurs faisant intervenir le c0sinus de l'angle qu'il font entre eux.

L'article de Wikipédia te donne une définition rigoureuse d'un angle :

Un angle est une portion de plan délimité par deux droites sécantes.

Dans un sens plus moderne, on assimile l'ensemble des angles équivalents au concept d'angle :
"Cet" angle signifie "L'ensemble des angles équivalents à celui ci".

Bon eh bien après réflexion, je me sens plutôt con.

La définition donnée par nabucos me semble être des plus acceptables. Le fait que mon prof m'ait raconté des choses approximatives, à propos de trucs visiblement compliqués, m'a mis dans la tête que ce n'était pas évident. Or ce n'est visiblement pas le cas.

Je m'étais persuadé que, de la même manière qu'on peut le faire avec les ensembles, ect, la notion d'angle était quelque chose de difficile à construire et à définir rigoureusement, sans utiliser trop de choses admises.

Ma question était relativement stupide, je m'en excuse.

Il n'y a pas de question stupide
Surtout celle ci !

Citation : nabucos

Bonjour,
Une définition un peu formelle en géométrie élémenbtaire pourrait être la suivante:
Pour définir l'angle entre OA et OB, on considère un cercle arbitraire de centre O et de rayon R qui coupe les droites OA et OB en P et Q.
Si on pose <math>\(\[ L=\widehat{PQ} \]\)</math>, longueur de l'arc de cercle PQ, alors la grandeur <math>\(\[ \alpha=\frac{L}{R} \]\)</math> est indépendante du cercle choisi est appelée angle entre OA et OB.

La notion générale d'angle se définit dans les espaces vectoriels munis d'un produit scalaire.
On la retrouve, par ce biais, dans notre espace 3D euclidien usuel, avec l'expression classique du produit scalaire de 2 vecteurs faisant intervenir le c0sinus de l'angle qu'il font entre eux.

Mais comment définir simplement la longueur d'une courbe (il faudrait passer par des intégrales à mon avis)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Longueur_d'un_arc enjoy \o/

Mais en effet, l'outil intégral est parfois pour ça

Définition plus fun : l'angle orienté ABC est la probabilité, si tu tires uniformément une demi-droite partant de B, qu'elle soit "entre" [BA) et [BC), multipliée par 2π.

(Une demi-droite [OB) est entre [OA) et [OC) si l'image du produit vectoriel des points de [OA) par ceux de [OB) est de même signe que le produit des points de [OB) par ceux de [OC) ).

(On peut le définir avec la mesure des demi-droites "entre" dans l'espace des demi-droites, c'est exactement la même chose, mais c'est moins drôle)

Bonsoir,


Après la remarque de krosian, je ne suis plus sûr de voir dans les propos nabucos la définition qu’il me fallait. Après relecture je ne la comprends plus parfaitement. Pour calculer la longueur d’un arc de cercle on fait appel à la mesure de l’angle, puisque l’on a coutume à mon niveau de la calculer avec <math>\(\alpha r\)</math>. Donc si je vous suis, il convient en fait de se référer au calcul des longueurs d’arc. La page wikipédia citée apparait comme très complète et très intéressante, je vais creuser.

@bluestorm : Ta définition est très intéressante, bien qu’un poil déroutante. Ce d’autant plus que les probabilités, qui ne m’ont jamais grandement intéressé, ne sont pas mon point fort. Je vais essayer de me documenter sur le sujet également.

Merci pour vos réponses.

La dure réalité c'est qu'il n'y a pas une unique "vraie" définition mathématique pour les notions qu'on manipule. Il n'existe pas une définition de la notion d'angle qui soit plus "fondatrice" que les autres. Il y a souvent de nombreuses façons de définir une notion, et pour les usages courants elles sont équivalentes. C'est quand on commence à faire des choses précises dans des cas extrêmes (par exemple abandonner l'intuition géométrique et manipuler seulement des espaces vectoriels) qu'on préfère certaines définitions à d'autres.

C'est comme en français : il n'existe pas une définition universelle d'un mot donné (par exemple "chaise"). Il y a un ensemble de définitions qui sont correctes en général, et si tu veux débattre d'un point très précis tu choisis une définition plus précise et plus formelle. Ça ne pose pas de problème tant que les gens avec qui te discute utilisent une définition équivalente à la tienne pour ce que vous êtes en train de faire.


Tu as une notion intuitive de ce qu'est un angle. Elle te paraît simple, mais n'est pas très précise. Tu pourras avoir besoin de la raffiner si tu veux en faire des usages plus poussés (par exemple les angles orientés, le rapport à l'angle dans une géométrie non-euclidienne, sur une surface courbe, en analyse complexe...), et tu prendras selon l'usage une définition qui respecte l'intuition plus vague, mais qui est plus utile pour le cadre d'usage précis, et qui convient aussi aux autres personnes travaillant sur le sujet. Tu ne trouveras jamais "la bonne définition", mais beaucoup de définitions qui conviennent dans ton cas, suffisamment bonnes.

Edit : Mauvaise manip.

Et la définition donnée par une isométrie d'une base orthonormée dans un espace euclidien ne te semble pas assez rigoureuse ?

Elle te permet même, par les propriétés des isométries de retrouver les formules trigonométriques super méga hyper trop casse couille à apprendre :
<math>\(A_{\alpha }oA_{\beta }=A_{\alpha + \beta }\)</math> où A est la matrice de ton isométrie de ton espace euclidien dans la base canonique (ou en tout cas orthonormée), et alpha et beta une mesure d'angle.

@bluestorm: Je conçois parfaitement qu’il n’y ait pas d’unique définition absolue pour les notions que l’on manipule. Je l’entends bien, d’ailleurs mon prof n’a de cesse de nous le répéter.

Simplement j’ai l’impression, nourrie notamment par la remarque de ordiclic, de ne pas m’être fait comprendre dans ce que je demandais. C’est assez frustrant. Il m’est assez difficile de m’exprimer pour moi et de réclamer quoi que ce soit, puisque de toute évidence c’est un sujet que je ne maitrise pas, ou si peu. On me dit toujours qu’en math on essaye d’admettre le moins de chose possible. De quelques postulats on construit tout et on démontre tout. C’est ce que je trouve passionnant en math. Mais c’est aussi hélas ce qui nous est le moins présenté au lycée, où on ne nous fait que manipuler des formules et des propriétés trop souvent admises.

La notion d’angle que j’ai est, comme tu le dis, intuitive et vague. Si j’essaye de raisonner mathématiquement, je ne peux pas admettre qu’il s’agit d’une mesure effectuée avec le rapporteur. De même lorsqu’on me dit qu’il s’agit de la longueur de l’arc, la définition me semble incomplète : qu’est-ce qu’est la longueur d’un arc à mes yeux, si ce n’est : <math>\(\alpha r\)</math>. Ainsi j’ai toujours besoin de fouiller, définir précisément la longueur d’un arc, et ainsi de suite. Peut-être mon problème vient-il de là. A trop exiger le formalisme et la rigueur, à refuser d’admettre quoi que ce soit, je me perds dans des choses qui me dépassent.

Par exemple, si je prends ta définition. Avec un petit dessin, j’arrive à la comprendre intuitivement, elle est tout ce qu’il y a de plus acceptable. Pourtant j’ai du mal à l’appréhender. Comment définir clairement la façon dont la demi-droite est tracée, puisque tu le fais aléatoirement ? D’ailleurs la notion d’aléatoire et même pour coller à ce que je vois au lycée, la notion de tirage au sort, comment cela se définit en math ? Je ne peux pas dire, « on prend un nombre au hasard ». Une fois de plus je ne suis pas sûr d’être bien clair. J’ai l’impression d’en demander trop, de chercher la petite bête, mais c’est ce qui m’intéresse dans les mathématiques. Le côté construit rigoureusement. Une définition des plus rigoureuse, qui ne laisse place à aucune intuition, me semble primordiale.

@Hod : A vrai dire, je n'avais aucune idée de ce qu'était une isométrie, jusqu'à maintenant.

C'est pourtant la définition donnée par Maxibolt.

Citation

A trop exiger le formalisme et la rigueur, à refuser d’admettre quoi que ce soit, je me perds dans des choses qui me dépassent.

Ce que je vais dire n'est aucunement rabaissant ou quoique ce soit d'autre. C'est une constation basée sur l'expérience, la mienne et celle de tous les étudiants dans le supérieur qui ont fait des mathématiques que connais et avec qui j'ai pu discuter : au lycée, tu ne sais pas ce qu'est réellement le formalisme mathématique.

Tu manipules des objets pourtant très simples sans réellement savoir ce que c'est. De plus, on ne t'impose pas le formalisme de rigueur qu'il faudrait pour définir ces objets. Du coup, non seulement tu ne peux pas t'exprimer clairement en langage mathématique mais en plus cela t'empêche de poser ton raisonnement. C'est bien dommage mais c'est le programme du lycée.

Un exemple : qu'est-ce qu'une longueur ? Et bien tu serais surement intéressé de savoir qu'à priori cette question triviale ne l'est pas autant qu'elle le parait et que les longueurs peuvent-être définie à partir du produit scalaire tout autant qu'en disant : "c'est la distance entre deux points". Mais là on peut se demander quelle est la définition d'une distance ? Et c'est repartie !

J'aime pas trop cette façon de raisonner qui consiste à rabâcher que les maths du secondaire ne sont pas les vraies maths et que "la vérité est ailleurs"...
On était pourtant sur la bonne voie en arrivant à la conclusion qu'une définition n'est qu'une définition, peu importe à quel point elle peut être compliquée et faire appel à des connaissances mathématiques élaborées.
Du coup, je vois pas trop l'intérêt d'une remarque du style "on ne peut pas imaginer se poser sérieusement une question pareille sans savoir ce qu'est un espace métrique"...!

Bon, je vais te donner une définition, mais elle est peut-être pas de ton niveau.

Il faut admettre que la fonction cosinus existe indépendamment de toute notion géométrique : en fait, elle est définie comme ceci : <math>\(\cos t = \lim_{n\to+\infty} 1-\frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} + \dots + \frac{(-1)^nt^{2n}}{(2n)!}\)</math>
On montre que la fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur <math>\([0,\pi]\)</math>, et par le théorème de la valeur intermédiaire que pour tout x dans [-1,1], il existe un unique <math>\(\theta \in [0,\pi]\)</math> tel que <math>\(\cos(\theta) = x\)</math>.

Pour deux vecteurs <math>\(\vec u=(x,x')\)</math> et <math>\(\vec v=(y,y')\)</math>, on définit l'angle (non orienté) entre les vecteurs <math>\(\vec u\)</math> et <math>\(\vec v\)</math> comme le réel <math>\(\theta\in[0,\pi]\)</math> tel que <math>\(\cos(\theta) = \frac{\vec u \vec v}{\| \vec u \| \| \vec v \|} = \frac {xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x'^2+y'^2}}\)</math>.

Édit : erreur corrigée !

C'est pas le sens de ma réponse.
Je regrette qu'au secondaire on n'enseigne pas les bases du formalisme, notamment l'utilisation des quantificateurs par exemple pour exprimer n'importe quelle propriété, aussi simple soit-elle.

Cela permettrait d'aider les élèves à assoir leurs raisonnements plutôt que justement se perdre dans du blabla.

La vérité n'est pas ailleurs, il suffit simplement de savoir l'exprimer correctement, ce dont ne permet pas l'enseignement du secondaire tel qu'il est actuellement.

La définition que je donne n'est juste qu'une définition pratique en topologie. Quand à la fin de mon dernier message, je voulais simplement souligner le fait que les mathématiques dans leur apprentissage sont une suite continuelle de généralisation de concepts généralement intuitifs ou triviaux. Je pense à la notion de longueur, distance mais aussi la commutativité de la multiplication dans le corps des réels, et toutes ces choses que l'on fait finalement depuis la maternelle /primaire et qui marchaient très bien sans que l'on n'ait la moindre idée du formalisme mathématiques que l'on pouvait leurs associer.

Citation : Elentar

On était pourtant sur la bonne voie en arrivant à la conclusion qu'une définition n'est qu'une définition, peu importe à quel point elle peut être compliquée et faire appel à des connaissances mathématiques élaborées.

Il ne m'intéresse pas vraiment de savoir si la définition est compliquée ou non. A vrai dire, je voulais m'intéresser à ça. Je m'attendais à voir des réponses que je ne comprendrai pas. Mais je voulais comprendre le formalisme qu'il y a derrière cette notion d'angle. Je voulais creuser un peu plus. J'ai eu des réponses, et en effet il y en a qui me dépassent totalement (mais c'est l'occasion pour me moi de me cultiver, quoi de mieux). Cependant, il me semble que pour qu'une définition mathématique soit recevable il faut qu'elle respecte une certaine abstraction, une certaine rigueur. C'est exactement comme l'exemple de Hod, on ne peut pas se permettre de dire c'est la distance entre deux points. De même je juge trop facile de dire que l'angle est la longueur de l'arc entre deux droites, sans expliciter la notion de longueur d'arc.

Ce qui m'intéressait dans cette discussion c'était de comprendre, creuser un peu les fondements des maths. Dans la mesure où rien ne sort du chapeau, j'avais envie d'avoir un aperçu. Savoir d'où ça vient, à quoi cela correspond vraiment, mathématiquement !

En fonction du domaine d'application, tu peux très bien définir une longueur comme étant la distance entre deux points.

Tu sous entends simplement que tu es dans l'espace euclidien R² (si c'est une surface plane du style une feuille) associé au produit scalaire usuel.

Après si tu veux du formalisme tu peux l'écrire avec les quantificateurs mais ça ne changerait pas grand chose. L'important du choix d'une définition et des raccourcis et sous-entenus tient surtout compte du contexte.

krosian : c'est l'inverse pour ce que tu as écris à la fin

Hod > Okay, et je suis assez d'accord en fait pour ton exemple sur les quantificateurs.

bébère > Tout dépend de ton but. J'étais parti du principe que tu voulais réellement comprendre ce qui se cachait derrière la notion d'angle, ce à quoi je répond : pas la peine de bouffer des tonnes de formalisme (et/ou de se faire impression par du formalisme).
Ça peut par contre aider un peu à s'assouplir l'esprit sur ce qu'on peut englober dans l'idée d'angle. Mais inutile de courir derrière la chimère des mathématiques les plus rigoureuses du monde qui feraient apparaître magiquement la notion d'angle : il y a toujours des "choses qui sortent du chapeau".
Et je ne te comprends par ta remarque sur la recevabilité d'une définition mathématique. "Savoir d'où ça vient, à quoi cela correspond vraiment" ne sera jamais mieux expliqué mieux que par un schéma, même si ça peut te sembler ridicule actuellement dans ta soif de formalisme "fondamental".

@Hod : La référence à ton exemple était là pour exprimer le fait qu'il s'agit d'une définition qui fait appel à une autre. Dans la mesure où j’essaye de comprendre le monde mathématique formalisé, ce genre de définition ne fait que soulever d’autres questions.

@Elentar : Tu as peut-être raison, et je l'ai déjà évoqué dans ma réponse à bluestorm. C’est peut-être dans cette soif de formalisme « fondamental » que je me perds. Ca ne m’apporte pas grand-chose et tu as raison sur le fait que la définition que j’avais de l’angle était acceptable à mon niveau. Tu as parfaitement raison. Je sais bien que ma curiosité me pousse généralement à m’intéresser à des choses qui n’ont pas grand intérêt à l’heure actuelle (j’entends scolairement). Mais je ne sais pas pourquoi, ça me passionne de découvrir toutes ces choses. La rigueur qu’imposent les maths, le raisonnement qui nous pousse à tout construire sans jamais admettre. Je n’ai pas posé cette question pour me faire mousser devant les formules de grands illuminés, non. J’ose espérer que personne ne l’a pris ainsi. Je m’interrogeais vraiment. Je n'ai vraiment pas envie de passer pour un prétentieux qui veut bouffer des formules incompréhensibles. Ma démarche est sincère et tout ce qu'il y a des plus humble, il y avait un vrai questionnement derrière.

La définition de krosian par ailleurs est parfaite à mes yeux. En plus d’être compréhensible et de faire appel à des connaissances que j’ai, elle correspond parfaitement à l'image de la définition que j'attendais.

Citation : bébère

@Hod : La référence à ton exemple était là pour exprimer le fait qu'il s'agit d'une définition qui fait appel à une autre. Dans la mesure où j’essaye de comprendre le monde mathématique formalisé, ce genre de définition ne fait que soulever d’autres questions.

La découverte d'une propriété ou la résolution d'un problème ne fait qu'amener une nouvelle question.

J'ai le souvenir d'un cours de TD sur la géométrie euclidienne où le professeur nous a donné une application de transformation du plan.
La seule question qu'il a toujours posée était : "que vais-je vous demander ensuite ?".
-> Vérifier la bilinéarité
Et ensuite ?
-> Vérifier la symétrie
Et ensuite ?
-> Matrice de Gram
Et ensuite ?
-> Forme quadratique + matrice associée
Et ensuite ?
-> Orthonormalisation de G-S
etc...

Voila un peu ma vision des mathématiques et sciences en général. Je t'invite à lire par exemple la définition d'en Ampère qui utilise la notion d'ampère...

Citation

Par définition, un ampère est l'intensité d'un courant constant qui, s'il est maintenu dans deux conducteurs linéaires et parallèles, de longueurs infinies, de sections négligeables, et distants d'un mètre dans le vide, produirait entre ces deux conducteurs, une force égale à 2×10-7 newton par mètre linéaire.

bébère > Je ne voulais pas paraître agressif ou sec.
Je trouve la question de base un peu maladroite mais légitime et je la pense tout à fait sincère, quand on sait qu'il y a encore un monde mathématique à explorer (ce qui est en fait le cas de tout le monde, mais certains plus que d'autres selon leur niveau scolaire).
Et la curiosité pour aller voir au-delà du programme scolaire c'est très positif, évidemment.
Et la définition de krosian, en plus de te convenir, est très utile.

Hod > La définition de l'ampère, c'est à coup sûr une horreur qu'il vaut mieux laisser au BIPM.

Citation : Elentar

Hod > La définition de l'ampère, c'est à coup sûr une horreur qu'il vaut mieux laisser au BIPM.

D'ailleurs, et pardon du HS, je viens de lire ça sur Wikipédia. Qu'en penses-tu ?

Citation

Le système international envisage et conseille de déjà utiliser une nouvelle définition pour la tension exprimée en volts et la résistance en ohms avec les effets quantiques de Josephson (constantes de Josephson) (CIPM) (1988). Recommandation 1, PV 56 ; 19), KJ ≡ 4,835 979×10+14 Hz⁄V et de von Klitzing, basée sur l'effet Hall quantique (CIPM (1988), Recommandation 2, PV 56 ; 20), RK ≡ 2,581 280 7×10+4 Ω)[pas clair]. Il serait alors possible de combiner ces valeurs afin de définir l'ampère comme étant un courant électrique constant d'exactement 6 241 509 629 152 650 000 charges élémentaires par seconde. Cette dernière valeur est l'inverse de 1,602×10-19 C, la valeur de la charge élémentaire. De fait, il n'existe pas encore de démonstration convaincante d'un effet quantique qui permettrait de définir le courant. Par conséquent, le triangle métrologique (« volt - ohm - ampère ») n'est pas bouclé.

Au sujet de la définition de krosian, j'aurais préféré une version basée directement sur l'exponentielle complexe. En effet, autant le développement du cosinus est franchement assez repoussant, autant celui de l'exponentielle est élégant et naturel; elle me paraît donc une meilleure base à admettre ex nihilo.
Ça n'affaiblit pas son argument, par ailleurs, car c'est vrai que cosinus est fixée indépendamment de la géométrie, et ce qu'on le prenne comme notion primitive ou qu'on le dérive de l'exponentielle.


Au sujet des probabilités : la théorie "moderne" des probabilités est très jolie et très puissante, et est en fait basée sur la même idée qui permet de calculer "la longueur d'une courbe" en intégrant sur son parcours. L'idée est de mesurer la "taille" d'un ensemble de possibilité, avec une théorie puissante pour donner la taille (mesure) de sous-ensembles d'un espace donné. C'est aussi un peu trop avancé (intégrale de Lebesgue), et je pense qu'il y a des choses qu'il peut être intéressant de voir avant (par exemple une bonne approche de la topologie, mentionnée ici).