Hod > j'en pense pas grand chose malheureusement. Je ne m'y connais pas mieux en métrologie qu'en physique de la matière condensée.
Mais il faudrait peut-être mieux trouver une autre source pour ça (directement sur le site du BIPM ?), là ça a l'air litigieux et possiblement rédigé par un unique contributeur.

<HS> En quoi la définition de l'ampère (celle avec "la force de ... entre les deux fils") ne vous satisfait pas ? Je ne vois pas en quoi elle n'est pas rigoureuse, elle définie parfaitement ce qu'est un ampère. </HS>

Pour l'angle, j'aurais donné la même définition de krosian (modulo l'erreur de typo sur sa dernière relation).

Citation : bluestorm

Au sujet de la définition de krosian, j'aurais préféré une version basée directement sur l'exponentielle complexe. En effet, autant le développement du cosinus est franchement assez repoussant, autant celui de l'exponentielle est élégant et naturel; elle me paraît donc une meilleure base à admettre ex nihilo.
Ça n'affaiblit pas son argument, par ailleurs, car c'est vrai que cosinus est fixée indépendamment de la géométrie, et ce qu'on le prenne comme notion primitive ou qu'on le dérive de l'exponentielle.

Je suis d'accord, mais je ne savais pas si le PO connaissait les nombres complexes, donc j'ai préféré balancer directement le cosinus.

BTW, j'ai corrigé ma moche erreur

Citation : Freedom

<HS> En quoi la définition de l'ampère (celle avec "la force de ... entre les deux fils") ne vous satisfait pas ? Je ne vois pas en quoi elle n'est pas rigoureuse, elle définie parfaitement ce qu'est un ampère. </HS>

Pour l'angle, j'aurais donné la même définition de krosian (modulo l'erreur de typo sur sa dernière relation).

La rigueur ne soit pas aller à l'encontre du bon sens.
Définir notion en utilisant cette même notion n'est pas très malin.

Je vois pas l'utilisation de "ampère" dans la définition de l'ampère :

1A = l'intensité d'un courant constant qui, s'il est maintenu dans deux conducteurs linéaires et parallèles, de longueurs infinies, de sections négligeables, et distants d'un mètre dans le vide, produirait entre ces deux conducteurs, une force égale à 2×10-7 newton par mètre linéaire.

Tu prends (par la pensée) le système décrit ici, tu fais varier l'intensité du courrant, et quand tu as la force donnée tu sais que l'intensité du courrant est de 1A. Je vois vraiment pas ce qu'il y a de "récursif" dans la définition. (ou alors quelque chose m'échappe ...)

Edit: Merci bluestorm

(récursif)

Bonjour,

Dans un précédent post,j 'ai donné une définition géométrique simple de l'angle ( que l'on peut d'ailleurs utiliser pour définir l'angle solide en remplaçant le cercle par la sphère interceptant un cône s'appuyant sur une surface).
J'ai suggéré une définition plus précise reliée au produit scalaire .C est à mon avis la seule façon vraiment rigoureuse de définir la notion d'angle. Elle est en effet directement liée à la notion d'espace vectoriel muni d'une métrique et d'un produit scalaire ( métrique euclidienne dans le cas de la géométrie usuelle)

Pour généraliser à un espace métrique quelconque, la rigueur nécessiterait l'artillerie lourde pour définir cette notion !

Je la mentionne en bref simplement pour souligner que la notion d'angle usuelle n'est qu'un cas particulier que l'on peut étendre à une géométrie quelconque ...et qu'elle ne sort pas d'un chapeau , pour reprendre une espression que j'ai lue.

La géométrie d' un espace métrique de dimension n est entièrement caractérisée caractérise par la donnée de son tenseur métrique <math>\(\[g_{pq},\:{(p=1,...,n,q=1,...,n)} \]\)</math> dont découle dans un système de coordonnées quelconques l'élément linéaire ( généralisation de l'abscisse curviligne usuelle) <math>\(\[ ds^{2}=g_{pq}dx^{p}dx^{q} \]\)</math> ( notation condensée d'Einstein) permettant de calculer la longueur d'un arc dans cet espace.
Si <math>\(\[U ^{p} \]\)</math> et <math>\(\[V^{q} \]\)</math> sont les composantes contravariantes de deux vecteurs U,V et <math>\(\[ U_{p},V_{q} \]\)</math> les composantes covariantes,la grandeur <math>\(\[ \frac{g_{pq}U^{p}V^{q}}{\sqrt{(U^{p}U_{p})(V^{q}V_{q})}} \]\)</math> est un invariant qui permet de définir le cosinus, donc l'angle que font les deux vecteurs.

Cette expression rébarbative se ramène dans un repère cartésien orthonormé de l'espace euclidien usuel à <math>\(\[ \Vert{U}\Vert.\Vert{V}\Vert\cos(\theta) \]\)</math> expression classique du produit scalaire.

Bonjour
Il me semble que l'on peut définir beaucoup plus simplement l'angle en disant qu'un angle est une paire de demi-droites de meme origine.
Cependant, pour la mesure de l'angle, c'est un peu plus compliqué : il faut parler de la rotation qui envoie une des demi-droite sur l'autre demi-droite.(d'après mes souvenirs, il faudra donc aussi parler de classes d'équivalences). On a donc pas forcement besoin de se ramener au produit scalaire

Bonjour,
@wanne 222

La question de départ est "définition rigoureuse ", pas définition nécessairement simple
J'ai néanmoins donné précédemment une définition assez simple qui rejoint la votre.

Il n'en reste pas moins que à mon avis la définition rigoureuse passe par le produit scalaire.
J'ai simplement indiqué dans ce second post un formalisme un peu lourd pour généraliser à un espace quelconque.

Cependant la notion de produit scalaire dans notre espace usuel 2 ou 3D n'est quand même pas si compliqué que celà ,me semble-t-il.
Et sans le produit scalaire et ce que cela implique , la notion d'angle n'existe pas ( ni celle de rotation....) . Tout autre définition colle certes à l'intuition de notre espace mais n'a rien d'"axiomatique".
L'existence même d'un repère usuel cartésien orthogonal découle implicitement du produit scalaire et les composantes d'un vecteur n'y sont rien d'autre que le produit scalaire de ce vecteur par les vecteurs de base unitaires .

Je vous accorde que l'on peut se préoccuper des angles en géométrie élémentaire sans parler de produit scalaire, mais une rigueur de définition passe par là.,

Citation : Freedom

1A = l'intensité d'un courant constant qui, s'il est maintenu dans deux conducteurs linéaires et parallèles, de longueurs infinies, de sections négligeables, et distants d'un mètre dans le vide, produirait entre ces deux conducteurs, une force égale à 2×10-7 newton par mètre linéaire.

Je sais que je suis hors sujet en restant sur l'ampère, mais pourquoi faire intervenir des forces pour définir l'ampère, alors qu'il suffit de compter. C'est 1 Coulomb par seconde, sachant qu'un électron porte 1.6 10^-19 Coulomb, il suffit de compter 6 10^18 électrons (je calcule de tête, ce sont des valeurs approximatives).

Pour ce qui est de l'angle, je fais de la physique, ma définition de l'angle, bien que non formelle, fait l'affaire.

Définir un angle comme étant une paire de demi-droite de meme origine est rigoureux je pense ( en effet, l'angle est totalement défini et il y a aucune incohérence mathématiques)
Pour la mesure je vais développer:
la rotation qui envoie la première demi-droite vers l'autre demi-doite s'écrit sous forme de matrice( dans un repère bien choisi): (cos a 0
0 sin a)
Le cosinus et le sinus sont parfaitement définit (on utilise pour cela la primitive de x-> -1/rac(1-x²) pour trouver arccos x, puis cos x)
On appelle la valeur |a| avec a compris entre -180 et +180° mesure géométrique de l'angle (la mesure de l'angle que l'on utilise au collège)
J'espère que je n'ai pas fait trop d'erreur

@Nathalya: Les grandeurs de bases du systèmes international c'est la longueur (m), la masse (kg), le temps (s), le courant électrique (A), la température (K), la quantité de matière (mol), et l'intensité lumineuse (cd), on rajoute à ca les angles (rad) et angles solide (sr) et avec ces 9 grandeurs physiques tu caractèrises n'importe quel autre grandeurs. Tu ne peux pas définir les unités des ces grandeurs autrement que par des expériences (ficitives) et des étalons, les expériences et étalons pouvant faire intervenir les unités d'autre unités. Ce que tu donnes c'est la définition d'un Coulomb en faite.

les grandeurs de bases sont arbitraires, je maintient qu'aujourd'hui il est plus simple de faire un étalon de l'ampère à partir du coulomb que l'inverse. Mais il est vrai qu'on est dans un sujet mathématique, et que le sens pratique n'y a aucune forme d'importance.

Arbitraire mais imposé par le système international, mais bon si tu veux faire ton propre système utilisé par toi tous seul fait comme tu le sens ... Et comment tu définies le Coulomb alors ?

Citation : Freedom

si tu veux faire ton propre système utilisé par toi tous seul fait comme tu le sens ...

Non c'est bon, on a déjà les anglais pour ça ...

...O.K., je sors.

Citation : Freedom

Arbitraire mais imposé par le système international, mais bon si tu veux faire ton propre système utilisé par toi tous seul fait comme tu le sens ... Et comment tu définies le Coulomb alors ?

Et bien, je me rends compte que le nombre de porteurs de charges dans un Coulomb n'est peut être pas rond (6,241 509 629 152 65×10^18 étant la valeur ont je dispose), ce qui complexifie la mesure. Je peux alors repartir sur la force exercé par deux charges ponctuelles d'un Coulomb à 1 m de distance, mais j'ai alors les mêmes inconvénients que toi : je me base sur des éléments théoriques impossibles à reproduire, et je fais intervenir les forces et les distances. Mon expérience initiale n'utilisait que le temps (et considérait les électrons comme identiques et atomiques).

Cela dit le système est exactement le même, c'est le point d'entré pour le définir qui varie.

Oui ca marche sauf que personne ne définie le Coulomb comme étant la charge porter par un élément (de volume, masse nulle) tel que l'interaction avec un même élément à une distance de x m produise une force de y N.

NB: Il est évident que quand tu fais un raisonnement physique, que tu dises qu'un courant d'un Ampèrs c'est ... (avec C et s) ca ne pose pas de problème, sauf que la on parle de métrologie, et quand on parle de métrologie la définition de l'ampère c'est celle là et pas une autre.

Perso, je trouve que la mole n'est pas vraiment une unité : pour moi c'est juste un préfixe multiplicatif.

Citation : krosian

Perso, je trouve que la mole n'est pas vraiment une unité : pour moi c'est juste un préfixe multiplicatif.

Je suis également de ton avis. Je ne comprends pas vraiment ce qu'un nombre de nombres d'atomes vient faire parmi des unités fondamentales. Bien sûr, n'étant pas vraiment un chimiste dans l'âme, j'imagine que quelques arguments en faveur de la mole m'échappent.

Le SI a plutôt été conçu pour être complet et bien adapté au monde macroscopique que fondamental, amha (et on pourrait faire la même critique pour le Kelvin).
Les systèmes d'unités plus "fondamentaux" (unités naturelles) se basent plutôt sur les constantes supposées fondamentales de la physique (c, G, <math>\(\hbar\)</math>).

Citation : Damneth

Citation : krosian

Perso, je trouve que la mole n'est pas vraiment une unité : pour moi c'est juste un préfixe multiplicatif.

Je suis également de ton avis. Je ne comprends pas vraiment ce qu'un nombre de nombres d'atomes vient faire parmi des unités fondamentales. Bien sûr, n'étant pas vraiment un chimiste dans l'âme, j'imagine que quelques arguments en faveur de la mole m'échappent.

Vous confondez unité et dimension : le kilomètre et le mètre, par exemple, c'est bien deux unités différentes.

Moi je trouve que la "mole" mérite son titre d'unité. Le mètre indique une distance, le gramme une masse, et la mole un nombre de molécules, ce qui n'est pas un nombre sans dimension. On ne dit pas "j'ai 3.5 moles de molécules de carbone dans ma solution" mais "j'ai 3.5 moles de carbone dans ma solution".

La mole n'est pas seulement un nombre de molécules, c'est au sens général une "quantité de matière".
On peut considérer que les "entités élémentaires" considérées ne sont pas des atomes ou des molécules sans problème (d'ailleurs dans ton exemple il faudrait préciser ce qu'on entend par "molécules de carbone"), même si ça a moins d'intérêt alors d'utiliser la mole.

Il y a de gros problèmes ici, vous mettez la charrue avant les bœufs.
Se servir du calcul intégral, des proba ???, des espaces euclidiens ou non, etc, etc, juste pour expliquer une vision claire et nette de la position de deux droites, ayant ou non un point commun ( on peut toujours se ramener à cette situation par glissement)relève d'une prétention un peu farfelue. Se servir d'un niveau bac+10 pour dire discuter sur un niveau quatrième/troisième est sans fondement. Ou alors, vous êtes tous polytechniciens et vos discours ont tous leurs droits.
Pour quantifier un éloignement de deux droites,on peut dire qu'il y a deux solutions: on mesure la distance entre elles, et là intervient la définition de cette distance, plus exactement, comment mesurer cette distance, par rapport à quel(s)point(s) de repère ? Les projections orthogonales viennent à notre secours. Mais, ce n'est pas très rigolo.
On peut aussi se servir du cercle, et le partager en une multitude de rayons puis dire que l'on passe de l'un à l'autre en "parcourant" 360°, ou 400 grades, ou 6400 millièmes ( 6318 exactement) ou...2Π radians.Même là, on peut trouver d'autres mesures, qui doivent répondre à 2 impératifs: ces mesures doivent s'additionner et se comparer. Donc, pas besoin de cosinus, qui est une conséquence des projections citées plus haut - et d'où vient donc cette série miraculeuse ? En sachant qu'il y en a d'autres...-

En réalité non, les intervenants n'ont fait que répondre à la question posée qui était une définition "rigoureuse" sur ce qu'est un angle indépendemment de la manière de le mesurer. Les définitons que tu proposes ont déjà été citées (dans l'idée), mais considérées par Bébère comme ne répondant pas à son interrogation. De ce constat (à savoir : s'abstraire de la vision intuitive de ce qu'est un angle), il me semble logique de faire intervenir des notions qui permettent de définir l'angle de manière générale (et donc plus abstraite). Ca ne me semble pas du tout être farfelu. De plus, ce n'est certaineemnt pas d'un niveau BAC+10 (bac+2 à la limite tant qu'on reste en géométrie euclidienne). D'autre part, en quoi le fait de ne pas être polytechnicien interdirait de telles réponses (où à l'inverse, en quoi le fait d'être polytechnicien les rendraient légitimes ?)
Quant à la série, elle se déduit de la définition de l'exponentielle (complexe). Définition à partir de laquelle on peut donner une définition de l'angle (parmis d'autre)

Bonjour, j'ai lu en diagonale le topic, donc arrêtez moi tout de suite si la définition de l'angle que je connais a déjà été proposée.
Je ne définis les angles pour le moment que dans un plan.
Soit E un espace euclidien de dimension 2.
Pour tout couple de vecteurs <math>\((u,v)\)</math> non nuls tels que <math>\(||u||=||v||\)</math>, il existe une unique rotation <math>\(r\)</math> telle que <math>\(r(u)=v\)</math>.
J'entend par rotation (on peut définir les rotations avant les angles) un automorphisme orthogonal de E de déterminant 1 (ou plus simplement, un endomorphisme de E dont la matrice dans une base orthonormale est <math>\(\begin{pmatrix}a && -b\\b && a\end{pmatrix}\)</math> avec <math>\(a^2+b^2=1\)</math>).
Ces applications ont en effet la bonne propriété de conserver le produit scalaire, et de correspondre à l'idée qu'on a intuitivement des rotations : l'hypothèse <math>\(a^2+b^2=1\)</math> peut se traduire sous la forme <math>\(\exists \theta \in \mathbb{R}\slash 2\pi \mathbb{Z} \; a=\cos(\theta) \text{ et } b=\sin(\theta)\)</math> (de même, on a défini auparavant les fonctions cosinus et sinus par les outils de l'analyse).

Une propriété de ces matrices est qu'elles ne dépendent pas de la base orthonormale directe choisie (on aura toujours le même theta). Ainsi, si <math>\(v=r(u)\)</math> avec <math>\(||u||=1\)</math>, c'est que <math>\(v=\cos(\theta)u+\sin(\theta)u'\)</math> où <math>\(u'\)</math> est un vecteur unitaire choisi de telle manière que <math>\((u,u')\)</math> soit une base orthonormale directe. Faites un dessin, on a bien l'idée d'une rotation de <math>\(u\)</math> "d'angle" <math>\(\theta\)</math>.
Une remarque que l'on peut faire aussi, est que si on change l'orientation en conservant une base orthonormale, le <math>\(a=\cos(\theta)\)</math> de la matrice est inchangé, et le <math>\(b=\sin(\theta)\)</math> est changé en son opposé.

Alors on définit la relation sur l'ensemble couples de vecteurs unitaires de E (que l'on notera <math>\(U\)</math>) : <math>\((u,v)\mathcal{R}(u',v') \Leftrightarrow \exists r \text{ une rotation } v=r(u) \text{ et } v'=r(u')\)</math>
C'est une relation d'équivalence. L'ensemble des angles de vecteurs unitaires est l'ensemble quotient <math>\(U\slash \mathcal{R}\)</math>, et l'angle de deux vecteurs unitaires <math>\((u,v)\)</math> est la classe d'équivalence du couple <math>\((u,v)\)</math>.

En clair, pour ceux qui ne connaissent pas les notions d'ensemble quotient et de relation d'équivalence, cela signifie qu'en gros, on regroupe les couples de vecteurs unitaire <math>\((u,v)\)</math> où l'on utilise la même rotation pour passer du vecteur <math>\(u\)</math> au vecteur <math>\(v\)</math>. Et l'angle de <math>\((u,v)\)</math>, c'est l'ensemble obtenu!
Ainsi, la notion d'angle ne dépend pas des bases de E choisies. Pour ce qui est de la mesure de l'angle, c'est différent : la mesure de l'angle <math>\((u,v)\)</math> est le <math>\(\theta\)</math> qui est dans la matrice de la rotation <math>\(r\)</math> telle que <math>\(r(u)=v\)</math>, dans une base orthonormale directe. Celui-ci est unique dans dans les bases orthonormales directes, mais il dépend donc de l'orientation du plan choisie (si on change d'orientation, la mesure est changée en son opposée).
Une fois qu'on a construit tout cela, ce n'est pas difficile d'étendre cette notion aux couples de vecteurs quelconques (on dit que la mesure l'angle de deux vecteurs <math>\((u,v)\)</math> est celle des vecteurs normés <math>\(\frac{u}{||u||]},\frac{v}{||v||}\)</math>, mais il faut pour cela que u et v soient non nuls, c'est pour cela qu'on ne peut pas définir les angles lorsque l'un des vecteurs est le vecteur nul), et d'étendre la notion dans les espaces de dimension supérieurs à 2 : il suffit de considérer l'angle de deux vecteurs dans l'espace engendré par les deux vecteurs.

En espérant n'avoir pas été trop long, et avoir apporté quelques éclaircicements.

Tu développes juste l'explication utilisant une isométrie dans un espace euclidien et la relation reliant angle et norme de vecteurs dans ce même espace euclidien, parce que tu entends surtout par rotation, une application bilinéaire symétrique (en l’occurrence une isométrie du plan). C'est extensible aux espaces préhilbertien et hermitien d'ailleurs je pense.
En gros, déjà proposé deux fois, mais expliqué d'une manière différente.

pour rushia
... si l'on reste en géométrie euclidienne... ben voila; il y a d'autres géométries: Bolyaï,Lobatchevski,Saccheri, Lambert, Gauss, Klein... Doit-on appliquer cette définition à ces géométries, ou doivent-elles se réclamer d'une autre définition ?
Heureusement que l'angle avait une définition assez simple, sinon l'exponentielle complexe aurait pu ne pas exister.
Mon propos se voulait un réponse naïve à des questions sommes toutes existentielles sur les définitions, théorèmes et autres postulats.Je pense qu'on avait trouvé un truc assez "satisfaisant" au IXe siècle, avec Tabit ibn Qurra. En tous les cas, une réponse est peut-être chez BOURBAKI. Bonne continuation pour tous.