Bonjour. Je viens juste poser une petite question ^^. Si j'ai dans une équation du second degré une première solution, x1 = 1 -1/4. Est ce que j'aurai a coup sur, x2 = 1 + 1/4 ? Si oui ou non pourriez vous le démontrer ?

Non, un simple contre exemple:

Déjà <math>\(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)</math>

<math>\(x^2- \frac{3}{4}x=0\)</math>

Si l'on veut résoudre cette chose là, on voit bien que <math>\(\frac{3}{4}\)</math> est une première solution, tandis que la deuxième est 0, et non <math>\(1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\)</math>

Ça serait le cas seulement si <math>\(-\frac{b}{2a} = 1\)</math>

Un autre exemple que celui donné au dessus, si tu prends le polynôme <math>\(P(x) = 4x^2-7x+3\)</math>, <math>\(1-\frac{1}{4}\)</math> est racine, mais <math>\(1+\frac{1}{4}\)</math> ne l'est pas (en effet, <math>\(P(x) = (4x-3)(x-1)\)</math>)

En fait, les seuls polynômes du second degré ayant <math>\(1-\frac{1}{4} et 1+\frac{1}{4}\)</math> comme racine sont ceux de la forme : <math>\(a(4x-3)(4x-5)\)</math> avec <math>\(a\in\mathbb{R}\)</math>

Merci bcp !! ça ça vodurait dire que j'ai foiré au moins un vingtaine d'exercices xD. Je met en résolu.

Il n'y a pas de tuto sur la résolution d'équation du second degré sur le site ?

J'en touche un mot dans le mien, mais il n'est qu'en beta-test pour le moment et ce n'est clairement pas le sujet principal (ça tient dans une balise info) et il me semble qu'un autre tuto en beta-test en parle plus longuement.

Tu n'as peut-être pas tout foiré blaziken.

Car comme les solutions sont de la forme <math>\(\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\)</math> et <math>\(\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\)</math>, on tombe souvent sur des résultats qui semblent suivre ta règle.

Tu fais sûrement cette erreur en pensant à la conjugaison complexe.

En effet, si <math>\(z \in \mathbb C\)</math> est racine d'un polynôme à coefficients réels, alors <math>\(\bar z\)</math> également. Et ce pour la raison fort simple que le conjugué d'un réel est lui-même :

<math>\(P(z) = 0 = \bar 0 = \overline{P(z)} = \overline{a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0}\)</math>
<math>\(=\overline{a_n} \,{\overline z}\,^n \,+\, \overline{a_{n-1}} \,\overline z\,^{n-1} +\, \dots\, + \overline{a_1}\, \overline z \,+\, \overline{a_0} = P(\bar z)\)</math> puisque les <math>\(a_k\)</math> sont réels.

Ainsi, si tu voulais le même résultat pour des nombres de la forme <math>\(x + \lambda y\)</math> avec <math>\(\lambda \in \mathbb R\)</math> fixé et en définissant une conjugaison <math>\(^\ast : x + \lambda y \mapsto x - \lambda y\)</math>, plusieurs problèmes se posent :

• quid de l'unicité de la décomposition (qui fait tout l'intérêt d'une telle décomposition) ?
• avec cette conjugaison, nous n'avons plus forcément : <math>\(x^\ast = x\)</math> pour tout réel x.

Au mieux, on peut énoncer ce lemme (la démonstration est celle faite sur les complexes ci-dessus) :

Citation : Lemme

Soit <math>\(K\)</math> un anneau inclus dans <math>\(A\)</math> anneau également et <math>\(\sigma : A \rightarrow A\)</math> un morphisme d'anneau identique sur <math>\(K\)</math>, alors

<math>\(\forall P \in K[X], \forall x \in A, P(x) = 0_A \Rightarrow P(\sigma(x)) = 0_A\)</math>

Il sait pas forcément ce qu'est un complexe non plus, et encore moins un morphisme d'anneau (sinon je doute qu'il aurait posé cette question) le but n'est donc pas de l'embrouiller en lui balançant de nouvelle notion dans la figure sans lui expliquer d'où ça vient...

Merci Ahti xD.

En France, les nombres complexes (TS) sont vus l'année d'après l'introduction à la résolution des équations du second degré par radical (1ère S), donc, vu qu'il ne précise pas son niveau et que l'erreur fait quand même grandement penser aux trinômes à racines complexes conjuguées, ce n'est pas scandaleux de faire le rapprochement.

Ensuite, il se peut qu'il fasse l'erreur en pensant par exemple à <math>\(X^2-X-1\)</math> de racines le nombre d'or et le nombre d'or conjugué. Alors, plutôt que de s'arracher les cheveux à se demander pourquoi ça marche comme avec les racines complexes alors que ce n'en sont pas, autant avoir une explication qui englobe la chose (pour l'exemple, c'est <math>\(\mathbb Q \subset \mathbb Q[\sqrt{5}]\)</math> qu'il faut regarder), quitte à ce que le PO demande un éclaircissement des notions si cela l'intéresse.
Enfin, il y a aussi des personnes qui visitent ce post, avec un niveau légèrement supérieur à celui du PO (un L1 peut comprendre ce que j'ai écrit), et qui se posent peut-être cette question de généralisation.


Bref, j'ai juste donné une explication concise de la probable origine de son erreur et un rectificatif de sa manière de penser pour que ça devienne juste. Après, soit ça l'intéresse et il demande de plus amples explications, soit ça ne l'intéresse pas et il laisse tomber ou précise que cela le dépasse trop. Mais enfin, ce serait bien de ne pas avoir à se justifier dès qu'on propose un point de vue un peu plus général sur un problème.

Ou alors, on peut apporter une réponse intéressante et pertinente sans pour autant étaler des tas de notions sans rapport avec le sujet en vue de montrer au monde entier son intelligence.

Citation : Pierre89

Au mieux, on peut énoncer ce lemme (la démonstration est celle faite sur les complexes ci-dessus) :

Citation : Lemme

Soit <math>\(K\)</math> un anneau inclus dans <math>\(A\)</math> anneau également et <math>\(\sigma : A \rightarrow A\)</math> un morphisme d'anneau identique sur <math>\(K\)</math>, alors

<math>\(\forall P \in K[X], \forall x \in A, P(x) = 0_A \Rightarrow P(\sigma(x)) = 0_A\)</math>

Par morphisme d'anneau "identique sur K" tu veut dire que <math>\(\forall x \in K\ \sigma(x)=x\)</math> c'est ça ?

En tout cas je suis d'accord avec Pierre89 : c'est intéressant d'avoir une vue plus générale sur une question ( même si ça ne profite pas au PO ça peut profiter à d'autres personnes que ça intérésse )

Citation : rom1504

Par morphisme d'anneau "identique sur K" tu veut dire que <math>\(\forall x \in K\ \sigma(x)=x\)</math> c'est ça ?

Tout à fait.



@souls killer : si tu regardes ma formation, tu verras que je ne suis pas un kikoolol de L1 qui est content de montrer qu'il connait de termes comme "morphisme". Je suppute deux origines possibles (qui sont en fait les même) à son erreur et lui montre pourquoi il a pu faire cette erreur. Comme je l'ai déjà dit, même si cela dépasse son niveau il peut soit poser des questions soit signaler que ça le dépasse trop et qu'il n'est pas près à s'embarquer la dedans. Dans tous les cas, ça lui montre que son erreur n'est pas bête et qu'elle a un fondement non trivial.

Ensuite, ta critique n'est absolument pas fondée, les notions dont je parle ont tout à voir avec le sujet initial. Toutes les autres réponses étaient du style "regarde la résolution par radical, tu vois bien que ça marche pas tout le temps", elles sont donc justes mais ne pointent pas du doigt ce qui fait que "ça marche" ou pas. Sauf celle de rushia qui commence sans aller assez loin. Si le PO trouve la réponse intéressante et veut vraiment savoir quand son principe marche et quand il ne marche pas, je peux lui expliquer la notion d'anneau avec les mains, sans trop forcer le formalisme afin qu'il comprenne bien quand les termes en <math>\(\sqrt{\Delta}\)</math> peuvent ou non se mélanger aux autres termes (car c'est enfin de ça qu'il s'agit et personne ne le dit).

Je généralise : je ne sors donc pas du sujet, je le recentre dans un contexte plus approprié bien que plus difficile à appréhender.

(Je m'excuse auprès du PO pour ce genre de post de justification qui, eux, n'ont en effet rien à faire dans ce genre de topic, mais qui sont de mise lors de procès d'intentions. Il n'y en aura plus : j'ai maintenant expliqué deux fois les motivations derrière mon post, les gens qui veulent encore critiquer celui-ci n'ont qu'à se référer à ses deux explications.)