Bonsoir à tous, sur un exo de math, j'ai des doutes concernant mes réponse et ma rédaction, si des personnes sauraient me guider, ce serait super.
Voilà mon exo :

Soit <math>\(f\)</math> la fonction définie sur <math>\(\mathbb{R}_+\)</math> par :
<math>\(f(x) = 1 + \frac{x}{2} - \sqrt{x + 1}\)</math>

1. Etudier le sens de variation de <math>\(f\)</math> sur <math>\(\mathbb{R}_+\)</math>
2. En déduire le signe de <math>\(f\)</math> sur <math>\(\mathbb{R}_+\)</math>

Et voici mon travail :

I) Calculons la dérivée :
<math>\(f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}}\)</math>
(Déjà ici premier doute sur la dérivée, je ne suis pas sûr de mon résultat.)

Ensuite je fais remonter la racine et met tout sous le même dénominateur, ce qui me donne comme forme de <math>\(f'\)</math> :
<math>\(f'(x) = \frac{x-\sqrt{x}}{2x}\)</math>

Après, je dresse un tableau de variation avec le domaine que j'ai, <math>\(\mathbb{R}_+\)</math> ou <math>\(D_f = [0;+\infty[\)</math>
où <math>\(f\)</math> est croissant sur <math>\([0;+\infty[\)</math>

N'ayant pas de solution sous la main pour le dessiner sur ordinateur, je me fie à votre imagination (heureusement il est assez simple)

(Deuxième doute, plus au niveau de la rédaction, y a-t-il une phrase type pour expliquer mon tableau ci-dessus)

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II) Là par contre je dois avouer que je suis plutôt larguer, je ne vois pas eventuellement quel forme utiliser pour étudier son signe plus facilement.

Voilà, j'espère avoir été clair dans mes explications
Merci d'avance

Effectivement il y a quelques erreurs :

La fonction <math>\(x \mapsto \sqrt{x+1}\)</math> se dérive en <math>\(x \mapsto \frac{1}{2\sqrt{x+1}}\)</math>.

Vérifie également le domaine de définition.

Déjà merci de ta réponse, et donc mon doute n’était pas faux
Mais j'aurais plutôt dis que <math>\(\sqrt{x+1}\)</math> se dérive en <math>\(\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\)</math> car <math>\(\sqrt{x}\)</math> se dérive en <math>\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)</math>

Mais soit, au moins, c'est une faute en moins

Oui il y a bien un 2 dans le dénominateur, j'ai été trop rapide !

Par contre comme je te l'ai dit plus haut, ton domaine de définition n'est pas bon

Edit : ah non autant pour moi, je n'avais pas vu que la fonction n'était définie que sur <math>\({\mathbb{R}^+}\)</math>

D'ac pour la dérivée.
Concernant le domaine de definition, pour moi <math>\(\mathbb{R}_+\)</math> correspond à <math>\(D_f = [0;+\infty[\)</math> avec 0 comprit car ce n'est pas <math>\(\mathbb{R}^*_+\)</math>

Pour la question 2 met les valeurs ( ou les limites ) au bout des flèches dans ton tableau de variation. Ca te permettra d'en déduire le signe de f(x).