Bonjour,

Dans mon cours le prof nous a donné quelques propriétés concernant les modules des nombres complexes, je dois les démontrer.

Ces propriétés sont les suivantes :

<math>\((1) : |z \times z'|= |z| \times |z'|\)</math>
<math>\((2) : |\lambda \times z|= |\lambda| \times |z| \qquad avec \quad (\lambda \in \mathbb{R})\)</math>
<math>\((3) : |\frac{1}{z'}| = \frac{1}{|z'|} \qquad avec \quad z' \neq 0\)</math>
<math>\((4) : |\frac{z}{z'}| = \frac{|z|}{|z'|} \qquad avec \quad z' \neq 0\)</math>
<math>\((5) : |z+z'| \leq |z|+|z'|\)</math>

Pour démontrer ces résultats j'ai utilisé cette propriété vu dans mon cours :
<math>\(|z| = \sqrt{z\times \bar z{\)</math>

<math>\((1) : |z|^2 = (\sqrt{z\times \bar z})^2 = z\times \bar z\)</math>
<math>\((1) : |z'|^2 = z'\times \bar z'\)</math>
<math>\((1) : |z|^2 \times |z'|^2 = z\times \bar z \times z'\times \bar z'\)</math>
<math>\((1) : |z \times z'|^2 = (\sqrt{z\times \bar z\times z'\times \bar z'})^2 = |z|^2 \times |z'|^2 \qquad donc \quad |z \times z'| = |z| \times |z'|\)</math>


<math>\((2) : |\lambda \times z|^2 = (\sqrt{\bar{\lambda z}\times \lambda z})^2 = \bar\lambda \bar z\times \lambda z\)</math>
<math>\((2): |\lambda|^2 \times |z|^2 = (\sqrt{\bar\lambda \lambda})^2 \times (\sqrt{\bar z z})^2 = \bar \lambda \lambda \times \bar z z\)</math>
<math>\((2) : |\lambda \times z|^2 = |\lambda|^2 \times |z|^2 \qquad donc \quad |\lambda \times z|= |\lambda| \times |z|\)</math>

<math>\((3) : |\frac{1}{z'}|^2 = (\sqrt{\frac{\bar 1}{\bar z'} \times \frac{1}{z'} })^2 = \frac{1}{\bar z'} \times \frac{1}{z'}\)</math>
<math>\((3) : (\frac{1}{|z'|})^2 = \frac{1^2}{(\sqrt{\bar z' \times z'})^2} = \frac{1}{\bar z' \times z'} = |\frac{1}{z'}|^2 \qquad donc \quad |\frac{1}{z'}| = \frac{1}{|z'|}\)</math>

<math>\((4) : |\frac{z}{z'}|^2 = (\sqrt{\frac{\bar z}{\bar z'} \times \frac{z}{z'}})^2 = \frac{\bar z}{\bar z'} \times \frac{z}{z'}\)</math>
<math>\((4) : (\frac{|z|}{|z'|})^2 = \frac{\sqrt{\bar z \times z} ^2}{\sqrt{\bar z' \times z'} ^2}} = \frac{\bar z \times z}{\bar z' \times z'} = |\frac{z}{z'}|^2 \qquad donc |\frac{z}{z'}| = \frac{|z|}{|z'|}\)</math>

<math>\((5) : |z+z'|^2 = (\sqrt{\bar{z}+\bar{z'} \times z+z'})^2 = \bar{z} + \bar{z'} \times z + z'\)</math>
<math>\((5) : |z|^2 = (\sqrt{\bar{z}z})^2 = \bar{z}z \quad et \quad |z'|^2 = (\sqrt{\bar{z'}z'})^2 = \bar{z'}z'\)</math>
<math>\((5) : or \quad \sqrt{\bar{z}+\bar{z'} \times z+z'} \leq \sqrt{\bar{z}z} + \sqrt{\bar{z'}z'}\)</math>
<math>\((5) : donc \quad |z+z'| \leq |z|+|z'|\)</math>

Voilà, pour la dernière je savais pas trop comment justifier l'inégalité, mais je sais que la racine d'une somme est toujours plus petite ou égale à la somme des racines des termes .

Merci de me dire ce que vous en pensez

je trouve que ya beaucoup de choses inutiles.
par exemple pour 2) ça découle directement de 1, puisque <math>\(\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow \lambda \in \mathbb{C}\)</math>
de meme pour 4) <math>\(|\frac{z}{z'}| = |z \times \frac{1}{z'}| = |z| \times |\frac{1}{z'}| = |z| \times \frac{1}{|z'|}\)</math>
pour le 5ème, essaie d'utiliser simplement la définition de <math>\(|z|\)</math>
PS. ça concerne plutot les modules des nombres complexes

Pour la dernière, essaye de montrer que <math>\(|z+z'|^2 \leq (|z|+|z'|)^2\)</math> en utilisant <math>\(|Z|^2 = Re(Z)^2 + Im(Z)^2\)</math>.

Et pour la 3 j'aurais fait <math>\(1=|1|=|\frac{1}{z} \times z| = |\frac 1 z |\times|z|\)</math> puis on divise par |z| les deux membres.

N'oublie pas aussi de poser Z = x+iy et conj (Z) = x-iy

Tu peux aussi procéder par récurrence.