Bonsoir, j'aurais besoin de votre avis concernant mes réponses à ces questions. J'aimerais plus avoir des explications sur mes erreurs que les réponses directement. Merci d'avance.
Exercice 1.1. *
Les étudiants de 1ère année ont le choix entre deux options obligatoires. 840 étudiants sont inscrits à la première option et 620 sont inscrits à la seconde. Par ailleurs, 60 étudiants plus courageux se sont inscrits aux deux options. Combien d’étudiants la promotion comporte-t-elle ?
On tire 3 cartes d’un jeu de 32. Combien de mains (combinaisons de 3 cartes) contiennent au moins un cœur ?
Réponse: je pense que c'est une combinaison donc on prend cette formule: et donc on calcul: 32!/(3!(32-3)!)=4960
Exercice 1.3. **
n invités s’assoient autour d’une table ronde. Combien y a-t-il de dispositions possibles, sachant que seules comptent les positions relatives des invités les uns par rapport aux autres ?
(2 dispositions sont identiques si chaque invité a le même voisin à sa gauche et le même voisin à sa droite)
Réponse: pour moi c'est juste n! la réponse
Exercice 1.4. **
12 magazines distincts sont placés côté à côte sur une étagère. Quel est le nombre de dispositions qui placent côte à côte 3 magazines fixés de cette collection ?
Réponse: C'est un arrangement sans répétition donc on prend cette formule: et donc on calcul 12!/(12-3)!
Exercice 1.5. **
Une association qui comprend 30 membres, dont 20 hommes et 10 femmes, va procéder à l’élection de son comité de direction. Il faudra élire un président, un secrétaire et un trésorier. Les postes ne sont pas cumulables.
1) Combien de comités différents sont possibles ?
Réponse: C'est une combinaison donc on calcul: avec k=3 et n=30 ça donne 2436
2) Combien de comités différents sont envisageables si :
le poste de secrétaire est réservé à une femme (hypothèse : on élit la secrétaire en premier) ? Réponse: on calcul 24360 - les combinaisons de (2 parmi 20+ 1 parmi 10) donc 24360-390=23970
les postes de président et de trésorier sont réservés à des hommes ? Réponse: on calcul 2436 - les combinaisons de (2 parmi 20+ 1 parmi 10) du coup ça donne le même résultat que la 2) a.
le président et le secrétaire doivent être de sexe différent ? Réponse: on calcul 2436 - les combinaisons de (1 parmi 20 + 1 parmi 10) ce qui donne 24330
le poste de président est réservé à un homme, le poste de secrétaire à une femme et Monsieur Gloubi refuse de siéger au comité avec Madame Boulga ? Je pense qu'une partie de la réponse vient du 2)c mais je ne saurai pas donner la réponse.
Exercice 1.6. ***
On peint en bleu un cube de 5 cm d’arête puis on le découpe en petits cubes de 1 cm d’arête.
1) Combien des petits cubes ont : 3 faces colorées R= 8, 2 faces colorées R=36?, 1 face colorée R=36?, 0 face colorée R=45 ? Pour trouver ces résultats j'ai dû faire un dessin sans ça j'aurai rien trouvé, donc au total ça fait 125 cubes qui représentent le volume total du cube ?
2) On dispose ensuite les petits cubes obtenus dans une boîte et on en tire 4 au hasard :
Combien y a-t-il de tirages possibles ? Réponse: 125!/(4!(125-4)!) = 96911375 avec la formule de combinaison
Combien de ces tirages amènent 2 cubes exactement avec 3 faces bleues ? Réponse: 96911375- (36!/(2!(36-2)!))=96910745
Combien de ces tirages amènent uniquement des cubes ayant au plus 1 face bleue ?
Combien de ces tirages amènent 4 cubes ayant, à eux tous, 6 faces bleues ?
- Edité par NightSeptember 19 septembre 2021 à 22:45:10
Salut, Tu m'as obligé à revoir mon analyse combinatoire ... 1.1 c'est correct. 1.2 l'énoncé ne dit pas combien de coeurs se trouvent dans les 32 cartes S'il y a N coeurs (0<=N<=4) tu devras faire la somme des combinaisons contenant 1, 2, 3 coeurs si N>=3 Pour chacune, tu devras faire le produit du nombre de façon de choisir les coeurs par le nombre de façons de choisir le reste. 1.3 ? 1.4 On ne dit pas que les magasines seront dans un ordre précis, seulement qu'ils seront côte à côte. Il y a 12-3 = 9 endroits où les placer Je te laisse décider si les autres doivent être dans un ordre Ça pourrait être A(12,3) * (12-3)! * 9 1.5 ? 1.6 1) correct 2) 1. correct 2. tu as 8 cubes ayant 3 faces colorées, pas 36 3. 45 cubes ayant 0 faces bleues et 36 cubes ayant 1 face bleue 4. tu as les possibilités 0+0+3+3 0+1+2+3 0+2+2+2 1+1+1+3 1+1+2+2
Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
Exercice 1.2 : tu as calculé 3 parmi 32, c'est-à-dire le nombre de mains de 3 cartes dans un jeu de 32 cartes. Or on ne veut pas toutes les mains de 3 cartes, seulement celles qui contiennent au moins un cœur. Souvent, « avec au moins un » se calcul en prenant le complémentaire de « avec aucun », plus facile à calculer. Si mon intuition est bonne, ça veut dire qu'il faut calculer le nombre de mains de 3 cartes (dans un jeu de 32 cartes) qui ne contiennent pas de cœur (il y a 8 cœurs dans ce jeu). Est-ce que c'est 3 parmi 24 ?
Remarque : tu méthode de calcul de 3 parmi 32 est compliquée. La formule avec les factorielles est utile pour trouver des propriétés (démontrer le triangle de Pascal) ou pour trouver d'autres formules. Mais le plus simple est de calculer ainsi : (32x31x30) / (3x2x1) qui fait bien 4960 (je te laisse trouver c'est laquelle dans ton formulaire).
1.2 d'après google "Un jeu de 32 cartes est composé de quatre couleurs : trèfle, carreau, cœur et pique. Chaque couleur est composée de huit cartes : 7, 8, 9, 10, as et trois figures (valet, dame et roi)" donc il y a 8 coeurs
Ducoup la bonne réponse serait plutôt: les combinaisons de 32C3*24C8=3647936160 donc 32!/3!(32-3)! * 24!/8!(24-8)! = 3647936160
1.3 et 1.5 ce sont mes réponses que tu ne comprend pas ?
Il ne peut pas y avoir plus de mains de trois cartes avec un cœur que de mains de trois cartes tout court, puisque le premier est un cas particulier du second (un sous-ensemble de l'ensemble de toutes les mains possibles).
Tu n'as peut-être pas vu ma première réponse (je crois que j'ai posté en même temps que toi) ?
Merci robun, ma première réponse était pour Pierrot le Fou, on a dû poster en même temps effectivement, du coup tu as raison il y a 4960 possibilités de tirage et de tout ça on doit soustraire 24C3 qui correspond aux tirages possibles sans les coeurs et donc ça fait 2936 mains qui contienent au moins 1 coeur.
"Mais le plus simple est de calculer ainsi : (32x31x30) / (3x2x1) qui fait bien 4960 (je te laisse trouver c'est laquelle dans ton formulaire)."
C'est vrai mais je sais pas comment calculer à la main pour les combinaisons, du coup c'est ce que je met sur ma calculatrice pour trouver le résultat.
Dans tes cours, tu dois faire le calcul exact? Je veux dire que tu pourrais exprimer le résultat en fonction des types de combinaisons: F(n) = n! A(n, k) = n! / (n-k)! C(n, k) = n! / ((n-k)! * k!)
Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
On tire 3 cartes d’un jeu de 32. Combien de mains (combinaisons de 3 cartes) contiennent au moins un cœur ?
Réponse: je pense que c'est une combinaison donc on prend cette formule: et donc on calcul: 32!/(3!(32-3)!)=4960
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Edité par NightSeptember 19 septembre 2021 à 22:45:10
Bonjour,
il y a deux façons de voir traduire «nombre de mains de 3 cartes contenant au moins un cœur»
contenir au moins un cœur sur 3 cartes = 1 «cœur» et 2 «non cœur» ou 2 «cœur» et1 «non cœur»ou 3 «cœur» et0 «non cœur» ce qui donne en considérant qu'il y a 8 «cœur» et donc 24 «non cœur» : c(8,1)×c(24,2) + c(8,2)×c(24,1) + c(8,3)×c(24,0) = 2936 ;
contenir au moins un cœur sur 3 cartes = de tous les tirages possibles enlever ceux qui ne contiennent que des «non cœur» : c(32,3)-c(24,3) = 2936.
C'est rassurant de voir qu'on arrive au même résultat
Pour rapidement construire un c(n,k) il te suffit d'écrire «au numérateur k termes en partant de n et en descendant, puis au dénominateur k termes en partant de 1 et en montant», par exemple :
c(32,3)= (32×31×30) / (1×2×3) ⇒ il y a k=3 termes en haut et en bas, en haut on commence à n=32 et on décrémente et en bas on commence à 1 et on incrémente.
Après simplification on trouve c(32,3)=32×31×5=992×5=4960
Pour c(24,3)=(24×23×22) / (1×2×3) = 4×23×22 = 4×506 = 2024
Et on trouve bien 4960-2024=2936.
NightSeptember a écrit:
Exercice 1.3. **
n invités s’assoient autour d’une table ronde. Combien y a-t-il de dispositions possibles, sachant que seules comptent les positions relatives des invités les uns par rapport aux autres ?
(2 dispositions sont identiques si chaque invité a le même voisin à sa gauche et le même voisin à sa droite)
Réponse: pour moi c'est juste n! la réponse
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Edité par NightSeptember 19 septembre 2021 à 22:45:10
Alors on peut vérifier ta conjecture. Si on place n=1 personne alors il n'y a qu'une configuration : n!=1!=1, ça semble coller.
Si on place deux personnes il n'y a à nouveau qu'une seule configuration (la première face à la seconde), ici n=2 et 2!=2 … ça coince.
Si on place trois personnes, il y aura deux configurations, celle où 3 est à gauche de 1 et celle où 3 est à droite de 1, pour n=3 on n'a pas 3!=6 ...
Mais tu peux remarquer que le nombre de configurations à n+1 personnes peut se déduire de celle à n personnes en «choisissant» l'intervalle où placer cette nouvelle personne … donc pour passer d'une configuration à une autre, il va falloir savoir combien de choix tu as pour placer une nouvelle personne …
Il faut toujours essayer de vérifier surtout avec des exemples simples …
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