Bonjour,

Je cherche à montrer que la fonction <math>\(f : x \mapsto \frac{\sin(x)}{x}\)</math> est dérivable sur l'intervalle <math>\(\left]0 ; \frac{\pi}{2}\right[\)</math>.

Pour cela, il faut que je prouve soit l'existence de <math>\(\lim_{\epsilon -> 0}{\frac{f(x + \epsilon) - f(x)}{\epsilon}}\)</math> soit l'existence de <math>\(\lim_{x->a}{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}\)</math>.

J'ai choisi de montrer l'existence de <math>\(\lim_{\epsilon -> 0}{\frac{f(x + \epsilon) - f(x)}{\epsilon}}\)</math>.
Et je trouve, <math>\(\lim_{\epsilon -> 0}{\frac{f(x + \epsilon) - f(x)}{\epsilon}} = \lim_{\epsilon -> 0}{\frac{x\sin(x+\epsilon) - (x+\epsilon)\sin(x)}{x\epsilon(x+\epsilon)}}\)</math>.
Et là, je me retrouve bloqué, car je ne vois pas comment prouver que cette limite est finie.

Ma question est donc comment puis-je faire (sans utiliser la règle de l'Hospital) ?

Merci d'avance.

Sur l'intervalle <math>\(]0; \frac{\pi}{2}[\)</math>, ta fonction <math>\(f\)</math> est dérivable (et même <math>\(\mathcal{C}^\infty\)</math>) en tant que produit (quotient si l'on veut) de deux fonctions (<math>\(\sin\)</math> et <math>\(x \mapsto \frac{1}{x}\)</math>) dérivables (<math>\(\mathcal{C}^\infty\)</math>) sur cet intervalle.

Enfin quoi qu'il en soit, si tu veux vraiment recourir aux limites et aux epsilon, tu peux t'en sortir comme suit (l'idée est d'essayer de faire apparaître du <math>\(\frac{u'v - uv'}{v^2}\)</math>, avec des notations habituelles) :
<math>\(\frac{x\sin(x +\epsilon)-(x+\epsilon)\sin x}{x\epsilon(x+\epsilon)} &=& \frac{\sin(x+\epsilon)-\sin x}{\epsilon} \times \frac{1}{x + \epsilon} - \frac{\sin x}{x (x + \epsilon)}\)</math>
(On prend bien évidemment <math>\(x \in ]0; \frac{\pi}{2}[\)</math> et <math>\(\epsilon \in \mathbb R\)</math> tel que <math>\(x + \epsilon \in ]0; \frac{\pi}{2}[\)</math>).
On peut alors passer à la limite dans chacun des deux termes du membre de droite et obtenir le résultat :
<math>\(\lim_{\epsilon \to 0} \frac{x \sin(x + \epsilon) - (x + \epsilon) \sin x}{x \epsilon (x + \epsilon)} = \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2}\)</math>.

Mais peut-être ta question portait-elle sur le prolongement continu de <math>\(f\)</math> en <math>\(0\)</math>, qui est dérivable en <math>\(0\)</math> également ? Dans ce cas, autant avoir un peu plus d'informations sur ton niveau (le développement limité, me démange !).

Merci bien, je ne pensais pas pouvoir utiliser la première justification que tu utilises car sinus n'est pas vraiment une fonction polynomiale, enfin, c'est bon à savoir que le produit (ou le quotient) de deux fonctions de classe <math>\(C^{\infty}\)</math> est dérivable et que ce n'est valable pas que pour les fonctions polynômes.

Autrement, tu reponds parfaitement à ma question.

Pour le développement limité tu pensais au DL d'ordre 3 de sinus, qui peut être utile pour le prolongement continu de <math>\(f\)</math> en <math>\(0\)</math>.

Un DL à l'ordre 1 suffit pour le prolongement continu de <math>\(f\)</math> en <math>\(0\)</math>, et un ordre 2 suffit pour la dérivabilité, il me semble, l'ordre 3 n'est nullement nécessaire.

Sinon, le produit de deux fonctions <math>\(f\)</math> et <math>\(g\)</math> dérivables en <math>\(a\)</math> est effectivement dérivable en <math>\(a\)</math> (même idée que celle que j'ai présenté dans le cas particulier, il faut faire apparaître <math>\((fg)'(a)\)</math>), de même que leur somme (l'ensemble des fonctions définies sur un intervalle <math>\(I\)</math> de <math>\(\mathbb R\)</math> et dérivables en <math>\(a \in I\)</math> muni de l'addition et de la multiplication des fonctions forme un anneau (commutatif)).
On en déduit aisément la généralisation au cas où <math>\(f\)</math> et <math>\(g\)</math> sont <math>\(\mathcal{C}^k\)</math> (<math>\((fg)^{(p)}\)</math> est une somme de termes du type <math>\(f^{(a)}g^{(b)}\)</math> avec <math>\(a + b = p\)</math>).

Revenant sur ce que tu as écris hier, je ne comprend pas très bien le but de faire apparaître <math>\(\frac{u'v - uv'}{v^2}\)</math>avant de passer aux limites et en quoi cela aide.
Pour le terme de droite (<math>\(- \frac{\sin x}{x (x + \epsilon)}\)</math>), j'arrive à passer à la limite. Mais pour le terme de gauche (<math>\(\frac{\sin(x+\epsilon)-\sin x}{\epsilon} \times \frac{1}{x + \epsilon}\)</math>), je n'y arrive pas sans la règle de l'Hospital ou alors j'ai manqué quelquechose.

Le but de faire apparaitre le terme <math>\(\frac{u'v - uv'}{v^2}\)</math> avant de passer aux limites est d'obtenir quelque chose qui n'est plus indéterminé (en fait, et j'ai peut-être eu tord de ne pas le préciser, le <math>\(u'\)</math> sera sous la forme du quotient de l'accroissement infinitésimal, dont on connait la limite : c'est le nombre dérivé) !

Pour le terme de gauche, il s'agit donc (là est le coeur de la chose) de remarquer que <math>\(\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\sin(x + \epsilon) - \sin x}{\epsilon} = \sin'(x) = \cos(x)\)</math>. La mise en forme n'était d'ailleurs pas un hasard...

Sinon tu peux montrer en 10 secondes que ta fonction est lipschitzienne et par propriété en déduire la différentiabilité presque partout pour la mesure de Lesbegues.

Je suis d'accord, c'est bien plus pratique. C'est d'ailleurs la méthode que j'utilisais quand j'étais en terminale, sinon c'était pas drôle.