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Dérivé

trinome

    26 mars 2021 à 16:31:21

    bonjour à tous!

    Il m'a été doné un devoir de maths à faire et je bloque sur une question.

    VOICI LE SUJET:

    Pour tout réel 𝑘 ≠ 0, on considère la fonction 𝑓𝑘 définie sur ℝ par : 𝑓𝑘 (𝑥) = 𝑘 3 𝑥 3 − 𝑘𝑥 2 + 𝑥 − 1. On note 𝐶𝑘 sa courbe représentative.

    Partie A A l’aide de la calculatrice, conjecturer les variations de la fonction 𝑓𝑘 sur ℝ pour chacun des cas suivants : 1. 𝑘 = −3 2. 𝑘 = 1 2 3. 𝑘 = 6 .

    Partie B 1. Après avoir calculé la dérivée de la fonction 𝑓𝑘, démontrer les conjectures émises dans la partie A. 2. Dans cette question, on suppose que la fonction 𝑓𝑘 :  n’est pas monotone ;  admet alors deux extremums. On note 𝐴 et 𝐵 les points de la courbe 𝐶𝑘 associés à ces extremums ; 𝐼 le milieu du segment [𝐴𝐵]. Justifier que, lorsque le réel 𝑘 varie, le point 𝐼 appartient à une droite dont on donnera une équation.

    Du coup j'ai finis la partie A et la première question de la partie B. Par contre je galère vraiment pour la 2 de la partie B.

     je sais qu'une fonction est monotone quand elle est soit croisante soit décrousaante sur R mais après je sais pas quoi faire.

    j'espère vraiment que vous pourez m'aider.

    Ps: désolé pour les fautes d'orthographes et merci d'avance pour votre aide

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      26 mars 2021 à 20:10:33

      On te parle des cas où la courbe admet 2 extrémums. Ca concerne donc certaines valeurs de k, pas toutes.

      Normalement, tu sais trouver les abscisses des extremums dont on te parle, en fonction de k : x1(k) et x2(k) : il faut résoudre une équation ... ....

      Dans un second temps, tu peux trouver les ordonnées des 2 points en question, toujours en fonction de k : y1(k) et y2(k)

      Dans un 3ème temps, tu peux trouver les coordonnées du point milieu : x3(k) et y3(k)

      Et dans un 4ème temps, il faut montrer que tous ces points (x3(k),y3(k) sont alignés.

      Voilà, j'ai fait la moitié du travail.

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        27 mars 2021 à 17:27:34

        bonjour,

        justement j'ai calculer la dérivé puis le disciminant qui a pour valeur:

        delta=-2k^2-4k>0

        mai je n'arrive pas a caluculer k(x1)et k(x2) par ce que mon delta est négatif.

        merci pour votre réponse

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          27 mars 2021 à 20:00:23

          Tu écris delta=-2k²-4k>0     et tu dis que delta est négatif.

          Delta est positif au début de la ligne, et négatif à la fin. Je ne comprends pas trop.

          Pour moi, -2k²-4k, c'est parfois négatif, et parfois positif. Ca dépend des valeurs de k.  

          Et on ne cherche pas k(x1), mais x1(k) 

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            27 mars 2021 à 20:32:49

            par cela je voulais dire que racine de delta était impossible à faire
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              27 mars 2021 à 22:12:01

              Relis ce que vient d'écrire tbc92 ! (C'est une erreur de dire que Δ est négatif, donc qu'il n'a pas de racine carrée.)

              -
              Edité par robun 27 mars 2021 à 22:13:45

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                28 mars 2021 à 8:32:11

                je suis désolé mais j'y arrive vraiment pas

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                  28 mars 2021 à 10:43:44

                  Delta =-2k²-4k=-2k(k+2)

                  Si k et k+2 sont de même signe, c'est à dire si k est en dehors de l'intervalle [-2,0], alors ce Delta est négatif.

                  Mais si k et k+2 sont de signes différents, c'est à dire si k est dans ]-2,0[, alors ce Delta est positif.

                  Et si k vaut -2 ou 0, ce Delta est nul.

                  Je pars du principe que jusque là, tout était bon. Je ne fais qu'analyser le signe de -2k²-4k.  

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                    28 mars 2021 à 12:43:51

                    Enfaite ce que je ne comprends pas c'est comment je peux trouver les deux racines en fonction de k
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                      28 mars 2021 à 13:22:21

                      As-tu essayé la formule \( \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} \) ?

                      -
                      Edité par robun 28 mars 2021 à 13:23:17

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                        28 mars 2021 à 14:33:30

                        oui et j'obtiens x1(k)= 

                        kk(k1)k

                        et x2(k)=

                        k+k(k1)k
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                          28 mars 2021 à 15:40:07

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                           Reprends le plan du départ.

                          Tu as les abscisses de 2 pts ; tu peux calculer les ordonnées de ces 2 pts : y1 = f(x1)  et y2 = f(x2)     f étant la fonction donnée dans l'énoncé de l'exercice.

                          Tu as donc 2 points (x1,y1)  et (x2,y2)  

                          Et ensuite, on veut le milieu de ces 2 points.

                          Il y a beaucoup d'étapes dans tous ces calculs, mais chaque étape est 'sous-controle'...

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                            28 mars 2021 à 16:14:29

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                            mimi2004 a écrit:

                            Pour tout réel 𝑘 ≠ 0, on considère la fonction 𝑓𝑘 définie sur ℝ par : 𝑓𝑘 (𝑥) = 𝑘 3 𝑥 3 − 𝑘𝑥 2 + 𝑥 − 1.

                            Il s'agit bien de k^3 x^3 - k x^2 + x - 1 ? (c'est-à-dire \( k^3 x^3 - k x^2 + x - 1 \) ?) Si oui je ne trouve pas la même chose. Ou alors tu n'as pas donné la bonne fonction ?

                            -
                            Edité par robun 28 mars 2021 à 16:15:16

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                              28 mars 2021 à 16:45:17

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                              Tu dis que :

                              x1(k)= kk(k1)k

                              Je pense que là encore il manque une barre de fraction :

                              x1(k)= (kk(k1))/k

                              Je trouve :

                              \( x = \dfrac{k \pm \sqrt{k}\sqrt{k-1}}{k} \)

                              qui mène à :

                              \( x_A(k) = 1 - \varphi(k) \) et \( x_B(k) = 1 + \varphi(k) \) où \( \varphi(k) \) désigne une certaine expression qui dépend de \( k \) qu'il n'est d'ailleurs pas indispensable de simplfier. Reste à calculer \( x_I(k) \) où I est le milieu de [AB] et à conclure.

                              -
                              Edité par robun 29 mars 2021 à 9:38:46

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                                28 mars 2021 à 17:10:14

                                oh merci bcp pour votre aide
                                • Partager sur Facebook
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