Bonjour à tous,
Je bloque sur un exercice de mathématiques donné en DM par mon professeur de mathématiques de terminale S.

Voici l'énoncé :
Déterminer, à l'aide de la définition, la limite de f en <math>\(-\infty\)</math>:

<math>\(f(x)= \frac{3x + 2}{x-1}\)</math>


Et voilà où j'en suis :
On veut montrer que : <math>\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3\)</math>
Ce qui revient à montrer que :

<math>\(\forall \epsilon >0,\exists B \in \mathbb{R} / x<B \Longrightarrow 3-\epsilon < f(x) < 3 + \epsilon\)</math>

Pour ce faire, on fixe <math>\(\epsilon > 0\)</math> et on pose B = ??
C'est ici que je coince.


Logiquement, pour trouver B, on part du principe que : <math>\(3-\epsilon < f(x) < 3 + \epsilon\)</math>,
soit <math>\(3-\epsilon < \frac{3x + 2}{x-1} < 3 + \epsilon\)</math>
Et il faut ensuite réussir à isoler <math>\(x\)</math>. Or avec <math>\(\frac{3x + 2}{x-1}\)</math>, je ne vois pas comment faire.

On m'a proposé de mettre sous forme canonique, mais forme canonique d'un quotient = ??

Je suis perdu.
Merci d'avance pour votre aide les zéros.

Salut, la définition serait pas plutôt : lim de x qui ted vers l'infini de f(x) = ( f(a+h) + f(a) ) / h ?
En plus il y a une propriété qui dit que la limite en + ou - infini d'un quotient est égale au quotient des termes du degrés le plus élevé de chaque fonction (du numérateur et du dénominateur) si mes souvenirs sont bons ..

Salut,

Déjà, tu as fait une petite erreur, c'est x> B:
<math>\(\forall \epsilon >0, \exists B \in \mathbb{R} tq \forall x > B, |f(x)-3| <\epsilon\)</math>

Ce n'est pas exactement ce que tu as marqué, mais tu peux montrer que c'est équivalent, et ce sera bien plus simple pour trouver ton B.

Bon courage !

Tu divises en haut et en bas par x

Citation : Wassup_1993

soit <math>\(3-\epsilon < \frac{3x + 2}{x-1} < 3 + \epsilon\)</math>
Et il faut ensuite réussir à isoler <math>\(x\)</math>.

Calcule <math>\(\frac{3x + 2}{x-1} -3\)</math>, ça va se simplifier. Ensuite, raisonne avec des valeurs absolues et rappelle-toi que tu as la possibilité de supposer que x est plus grand que 42 (par exemple) si ça peut te simplifier les calculs, car x tend vers <math>\(+ \infty\)</math>. Le truc très important à comprendre c'est que tu ne cherches pas tous les B possibles mais juste un B qui marche.

Bonjour,
Le but de l'exercice est d'appliquer la définition donc la recette donnée dans un post "je divise par x numérateur et dénominateur" est à oublier.
D'une façon générale, lorsque l'on veut prouver directement que f(x) a pour limite b, il est en gébéral plus simple de montrer que f(x)-b a pour limite 0
C'est bien le cas ici et vous devez facilement obtenir la valeur de B en fonction de tout eps donné soit x> B=1+5/eps vers +inf . Vous parler de +Inf mais vous noterez que la limite est aussi 3 vers -inf. avec cette fois x<B'= 1-5/eps .

Citation : Shogoune

Salut, la définition serait pas plutôt : lim de x qui ted vers l'infini de f(x) = ( f(a+h) + f(a) ) / h ?

Attention, là tu mélanges les notions de limites et de dérivabilité. Et encore, ton expression ne représente rien de bien concret.

Bonsoir,
Merci pour votre aide.

Effectivement, je me suis trompé en recopiant l'énoncé, il s'agit bien de chercher la limite en <math>\(-\infty\)</math>. Je modifie l'énoncé.

Citation : Candide

Ensuite, raisonne avec des valeurs absolues et rappelle-toi que tu as la possibilité de supposer que x est plus grand que 42 (par exemple) si ça peut te simplifier les calculs, car x tend vers + \infty. Le truc très important à comprendre c'est que tu ne cherches pas tous les B possibles mais juste un B qui marche.

Oui, effectivement, merci.

Citation : nabucos

C'est bien le cas ici et vous devez facilement obtenir la valeur de B en fonction de tout eps donné soit x> B=1+5/eps vers +inf . Vous parler de +Inf mais vous noterez que la limite est aussi 3 vers -inf. avec cette fois x<B'= 1-5/eps .

Comment as-tu procéder pour trouver ce B'?
Puisque j'ai inscris dans ce post uniquement une limite, en vrai j'en ai plusieurs à déterminer donc j'aimerais bien comprendre comment faire. M'enfin, si c'est pas trop long à expliquer.

EDIT : Quel est l'avantage de raisonner en valeur absolue ? Cela revient au même non ?

Y'a que moi que ca choque l'utilisation des epsilon et co alors que le PO n'est qu'au lycée ?

bha moi je me souviens bien de ca en terminale

*

Citation : Pierroda

Citation : Shogoune

Salut, la définition serait pas plutôt : lim de x qui ted vers l'infini de f(x) = ( f(a+h) + f(a) ) / h ?

Attention, là tu mélanges les notions de limites et de dérivabilité. Et encore, ton expression ne représente rien de bien concret.

Au temps pour moi, merci et désolé

Je te fais le début du raisonnement :
Tu sais que<math>\(\lim_{x \to -\infty} \frac{3x+2}{x-1} = 3\)</math>

Soit <math>\(\epsilon >0\)</math>. On cherche <math>\(B < 0\)</math> tel que <math>\(\forall x \in ]-\infty;1[, x<B \Rightarrow \left|\frac{3x+2}{x-1}-3\right|<\epsilon\)</math>

Or <math>\(\forall x \in ]-\infty;1[\)</math>, <math>\(\left|\frac{3x+2}{x-1}-3\right|=...\)</math>

A toi de jouer

Citation : Wassup_1993

Effectivement, je me suis trompé en recopiant l'énoncé, il s'agit bien de chercher la limite en <math>\(-\infty\)</math>. Je modifie l'énoncé.

Tu as oublié de rectifier partout.

Citation : Wassup_1993

EDIT : Quel est l'avantage de raisonner en valeur absolue ? Cela revient au même non ?

Oui, cela revient au même en définitive. Mais n'oublie qu'une limite finie est définie en terme de valeur absolue, ici tu dois avoir <math>\(\left|f(x)-3\right|<\varepsilon\)</math>. En pratique les débutants n'aiment pas trop faire des limites avec des valeurs absolues car ils en maîtrisent mal les propriétés (les inégalités triangulaires). Et sache que maîtriser ("sentir") la définition d'une limite n'est pas du tout immédiat et peut réclamer pas mal de maturation (sur plusieurs années parfois).

Citation : Manuu

Je te fais le début du raisonnement :
Tu sais que<math>\(\lim_{x \to -\infty} \frac{3x+2}{x-1} = 3\)</math>

Soit <math>\(\epsilon >0\)</math>. On cherche <math>\(B < 0\)</math> tel que <math>\(\forall x \in ]-\infty;1[, x<B \Rightarrow |\frac{3x+2}{x-1}-3|<\epsilon\)</math>

Or pour tout <math>\(x \in ]-\infty;1[\)</math> : <math>\(|\frac{3x+2}{x-1}-3|=...\)</math>

A toi de jouer

Oui, c'est en effet ainsi qu'il faut procéder. Juste une remarque de <math>\(\LaTeX\)</math> : il faut faire des barres de valeur absolue extensibles : <math>\(\left|\frac{3x+2}{x-1}-3\right|\)</math>

Citation : candide

Oui, c'est en effet ainsi qu'il faut procéder. Juste une remarque de <math>\(\LaTeX\)</math> : il faut faire des barres de valeur absolue extensibles : <math>\(\left|\frac{3x+2}{x-1}-3\right|\)</math>

Merci

Citation

Oui, cela revient au même en définitive. Mais n'oublie qu'une limite finie est définie en terme de valeur absolue, ici tu dois avoir <math>\(\left|f(x)-3\right|<\varepsilon.\)</math> En pratique les débutants n'aiment pas trop faire des limites avec des valeurs absolues car ils en maîtrisent mal les propriétés (les inégalités triangulaires). Et sache que maîtriser ("sentir") la définition d'une limite n'est pas du tout immédiat et peut réclamer pas mal de maturation (sur plusieurs années parfois).

Oui effectivement.

En partant de ce que tu as dis Manuu, je trouve <math>\(B=1-\frac{5}{\epsilon}\)</math>
Et en faisant le raisonnement dans le sens inverse, ça marche, je retrouve :
<math>\(\forall x<1, x<B \Longrightarrow 3-\epsilon < f(x) < 3 + \epsilon\)</math>, soit <math>\(\left|f(x)-3\right|<\varepsilon.\)</math>
Donc c'est bon. Merci pour votre aide.