Bonjour,
J'en appelle à vos talents de physiciens pour me confirmer ou de m'infirmer dans un calcul un peu spécial.

J'ai construit l'année dernière avec un ami une fusée expérimentale au sein d'une association dont le but était de mesurer le Cx, le coefficient de pénétration de l'air intervenant dans la formule de résistance de l'air.



Pour cela nous utilisons un ressort sur lequel vient directement pousser le propulseur (qui se déplace dans la fusée).



En mesurant l'élongation du ressort avec un potentiomètre, ainsi que l'accélération dans les trois axes de la fusée avec un capteur d'accélération on espère pouvoir retrouver la valeur du Cx en fonction de ces deux paramètres.


Pour plus d'informations sur la fusée qui a volé l'été dernier, je vous invite à lire ce compte rendu.

Un point clé dans la réalisation de cette fusée est le dimensionnement du ressort.
En effet, il faut déterminer quelle constante de raideur k et quelle longueur à vide l0 choisir pour que les mesures soient les plus précises possibles, et que le ressort résiste aux forces subies (notamment celle du propulseur).

Le vol a montré que nous avons complètement sous dimensionné la valeur du ressort.

Je me suis rendu compte récemment que le calcul de la valeur du ressort (qui était basée essentiellement sur de l'intuition et du bricolage) que nous avions effectué est complètement faux.

J'ai essayé de reprendre aujourd'hui les calculs et je pense aboutir à une équation différentielle liant k et l0, mais n'étant pas très bon en physique et la démarche étant assez longue j'aimerais que vous me confirmiez la validité de mes calculs, et/ou que vous me proposiez peut-être une meilleur méthode.

Calcul de (k, l0)

En pratique l0 doit être de l'ordre de 20 cm, j'essaye donc plutôt de calculer la constante k.




Je distingue d'abord le référentiel lié à la Terre R0 Galiléen et le référentiel lié à la fusée R non Galiléen.

Je fais mon bilan sur le ressort en appelant m sa masse, et x la position de son centre de gravité selon la longueur de la fusée, l'origine étant choisie pour correspondre au bas du ressort quand celui-ci ne subit aucune force (avant le décollage donc).

Je considère que le centre de gravité du ressort est au milieu de celui-ci.
On a donc x(0) = l0 /2.

Le ressort subit :

• -<math>\(\vec{F_1}\)</math>, la force du propulseur dont le constructeur donne une courbe expérimentale en fonction du temps (c'est un PRO-54).
• -<math>\(\vec{F_2}\)</math>, la force exercée par la plaque de poussée (en verte kaki) sur le ressort
• -La force d'inertie <math>\(-m * \vec{a_e}\)</math> où <math>\(\vec{a_e}\)</math> est l'accélération subie par la fusée en son centre de gravité dans le référentiel R0, que l'on peut donc calculer en fonction du temps avec la méthode d'Euler pour les simulations en donnant une valeur "classique" au Cx comme 0.6 (et cette accélération sera mesurée en vrai).
• -La force de Coriolis <math>\(-m*\vec{\Omega} \wedge \vec{v_r}\)</math>
  <math>\(\vec{\Omega}\)</math> est la vecteur instantané de rotation donc <math>\(\vec{\Omega} = (\dot{\theta}, \dot{\varphi}, \dot{\psi})\)</math> et <math>\(\vec{v_r}\)</math> est la vitesse relation du ressort dans R donc <math>\(\vec{v_r} = (\dot{x}, 0, 0)\)</math>.
  On a donc <math>\(\vec{\Omega} \wedge \vec{v_r} = (0, \dot{\psi}*\dot{x}, \dot{\varphi}*\dot{x})\)</math>
  En conclusion le produit scalaire est nul sur l'axe des x : la force de Coriolis ne fait pas partie des forces subies par le ressort (j'espère que je ne me suis pas trompé ici).
  
• -Son poids -m*g

En écrivant le PFD sur l'axe des x, j’obtiens donc : <math>\(m*\ddot{x} = F_1 - F_2 -m*{a_e}_x -m*g\)</math> où <math>\({a_e}_x =\)</math> projeté de a_e sur l'axe de la fusée.

En ce qui concerne F1 c'est la force du propulseur donc je peux la calculer.
En ce qui concerne F2, je pense pouvoir en déduire son expression en appliquant la troisième loi de Newton sur la plaque de poussée : <math>\(-\vec{F2}\)</math> est la force subie par la plaque de poussée du ressort. L'allongement du ressort est <math>\(2(l0-x(t))\)</math>donc :
<math>\(F2 = k(l0-2x)\)</math> (?)


Finalement en reportant j'obtiendrais :
<math>\(F_{prop} + k(l0-2x) = m*\ddot{x}+m*{a_e}_x +mg\)</math> et <math>\(x(0) = l0/2\)</math>
Je pense que cette équation pourrait me donner des conditions pour k.

Est-ce que jusqu'ici tout vous semble correct ?
J'aimerais être sur de mon coup avant de me lancer dans les simulations informatiques.

Je souhaite de plus que quand le ressort est compressé au maximum, il y ait une différence de longueur avec la longueur à vide de 7 cm (cela correspond à longueur du potentiomètre).

J'ai donc 2*l0 - 2(l0-max(x)) = 7cm ie <math>\(max(x) = 3.5 cm\)</math>


Ceci est donc une contrainte supplémentaire sur k, mais je ne sais pas encore comment l'intégrer dans ma simulation informatique (à part faire du brute-force c'est à dire calculer x(t) (avec la méthode d'Euler) et max x(t) pour pleins de valeurs de k et regarder celle qui est la plus proche).


Merci d'avoir lu, en espérant avoir été clair (ce n'est pas facile de synthétiser tout ce projet, n'hésitez pas à poser des questions si un passage vous semble obscur).

Merci d'avance pour vos réponses,


Robocop

Hello Robocop,

Je ne pense pas que faire un bilan sur un ressort est une bonne idée, et introduire force de Coriolis et accélération centripète me paraît un peu périlleux... Après avoir réfléchi au problème, je te propose "une" solution possible:

Si l'on considère le ressort comme étant idéal, l'intégralité de la force de poussée sera retransmise à la fusée.
Partant de ce constat, je pense qu'il est possible de considérer un simple système masse-ressort avec:
- la masse est composée de la masse de la fusée
- les forces exercées sur la masse sont: la résistance de l'air, le poids de la fusée, la force de propulsion (dirigée vers le bas cependant, par la troisième loi de Newton: la force de propulsion sur la fusée serait dirigée dans la direction des x ascendants, mais réciproquement, la force de la fusée sur le propulseur est dirigée vers le bas). On obtient donc:
<math>\(-F_p+kX-F_{air}-P = ma_x\)</math>
Où k correspond à la raideur du ressort et X est la différence entre longueur courante et longueur à vide et <math>\(a_x\)</math> est l'accélération de la masse.
L'équation correspond bien au fait que toutes les forces tendent à compresser le ressort.

En supposant une vitesse constante (obtenue après quelques secondes de vol pendant un court instant au vu des courbes d'altitude):
<math>\(-F_p+kX-F_{air}-P = 0\)</math>
Le problème c'est qu'il n'y a qu'une équation pour deux inconnues... Le coefficient de raideur k et X, la différence entre longueur à vide et longueur actuelle.
Il "suffit" d'insérer quelques valeurs numériques. Tu as apparemment une idée du Cx que tu veux trouver et des valeurs de vitesse, surface, ... Les valeurs du précédent ressort permettent aussi de guider ton choix et tu sais que dans le pire des cas ton ressort doit encaisser une force maximum égale à la somme de la force de propulsion, la force de résistance de l'air et le poids.
Il me semble qu'il y a un certain nombre de logiciels et toute une théorie pour dimensionner un ressort que tu trouveras sur Internet.

En espérant que cela t'aide.

Remarque: page 4 de ton rapport, un cos(90-a) s'est transformé en un -cos(a)... Alors que ce devrait être sin(a). D'où une formule fausse pour le coefficient de résistance de l'air. À noter aussi que l'équation proposée n'est valable qu'à "l'équilibre".

Tout d'abord merci beaucoup d'avoir pris le temps de me lire et de me repondre.

Effectivement faire un modèle masse ressort simplifie beaucoup les choses, cependant j'ai du mal a voir pourquoi la force du propulseur est orientée vers le bas : si on fait un bilan sur la masse elle devrait etre orientée vers le haut non ?

Dans ton modèle le ressort ne subit aucune force ?

Peut-être qu'un schema permettrai de mieux comprendre ton explication.

D'autre part la masse du ressort est de plus de 500g, je ne sais pas si on peut négliger son poids ?
Ps : merci beaucoup pour la faute je corrigerai dès que j'aurai acces à un ordinateur.

robocop