Bonjour,

Comment montrer que 2 distances équivalentes donnent les mêmes ouverts? J'ai essayé plusieurs manipulations pour démontrer que les ensembles des ouverts selon les 2 distances sont égaux mais ça n'a pas marché.

Merci,

Bah tu considères U un ouvert pour la distance d1, tu veux montrer que c'est un ouvert pour la distance d2. Alors t'as qu'à prendre x dans U tu sais qu'il existe e>0 tq B(x,e) est dans U pour la distance d1, du coup ça veut dire que pour tout y tel que d1(x,y)<=e, tu as y dans U. Par équivalence des distances, tu peux trouver un e' tel que si d2(x,y)<=e' alors d1(x,y)<=e et donc y est dans U. Du coup U est un ouvert pour la distance d2. Et de même dans l'autre sens.

Bonsoir,

je ne suis pas sûr de comprendre...

par définition, deux distances sont équivalentes justement si elles définissent la même topologie, donc les mêmes familles d'ouverts.

La question que tu te poses n'est elle pas plutôt une condition pour que deux distances soient équivalentes.

Les ouverts de la topologie induite par une distance sur un ensemble \(E\) peuvent se définir  à partir des boules ouvertes de centre \(a \in E\) et de rayon \(r\) soit \(B(a,r)= ( x \in E \vert d(a,x) <r)\).

Un ouvert \(U\) est une partie de \(E\) telle que , en tout point de \(U\), il existe \(r>0\) telle que \(B(x,r) \subset U\) ( on montre facilement que l'on définit bien ainsi une topologie).

alors une c .n.s. pour que deux distances \(d,d'\)soient équivalentes est que \(\forall x \in E\)   :

\( \forall r >0 ,\exists r' >0 : B_{d'}(x,r') \subset B_{d}(x,r) \)

\( \forall r >0 ,\exists r' >0 : B_{d'}(x,r') \subset B_{d}(x,r) \)

-
Edité par Sennacherib 15 septembre 2014 à 21:09:04

Senna : En prépa (du moins du temps où j'y étais, il y a eu une réforme entre temps), on dit que deux normes sont équivalentes ssi il existe deux nombres strictement positifs a1 et b1 tq \( a_1N_1 \leq N_2 \leq b_1 N_1 \), et inversement. Du coup, ça devient logique de démontrer que deux normes équivalentes définissent les mêmes ouverts.

Oui, en l'occurrence ici c'est des distances mais dans un lointain souvenir on a la même définition de l'équivalence que pour les normes. Tout du moins c'est la définition que j'ai supposée dans ma première réponse...

Ah oui pardon, distance, j'ai confondu !

Bonjour,

je pense que ce que j'ai écrit revient à la condition d'équivalence, souvent rencontrée, que toute \(d\)- boule ouverte est réunion de \(d'\)-boules ouvertes et réciproquement.

  on trouve dans un contexte un peu plus avancé  l'équivalence définie en terme de continuité .

\(d,d'\) sont équivalentes si l'application identité \(I: (E,d) \rightarrow (E,d') \) est bi-continue,  ( au sens général topologique,  soit image réciproque de tout ouvert = ouvert ).

 L'intérêt de cette définition est de définir de façon "naturelle" des équivalences plus restrictives , distances uniformément équivalentes, distances Lipschitz-équivalentes, généralisant à des espaces topologiques métrisables des notions classiques de l'analyse usuelle ).

En fait, dans mon cours, on définit les distances équivalents à la façon de melepe! Je pense ainsi que la première réponse à résolue le problème. Merci,

Il y a confusion.

Par définition 2 distances sont équivalentes si elles induisent la même topologie.

Melepe donne la définition des distances uniformément équivalentes.

Il est très facile de montrer que deux distances uniformément équivalentes sont équivalentes, mais la réciproque n'est pas exacte. On ne peut donc pas mélanger les deux définitions.

J'ajouterai ceci:

Deux distances équivalentes sont souvent dites "topologiquement équivalentes", tandis que deux distances uniformément équivalentes sont souvent dites "métriquement équivalentes".

Deux distances métriquement équivalentes sont topologiquement équivalentes, mais la réciproque est inexacte.

 comment montrer sur Rn que d2, d∞ et d1 sont des distances equivalentes

Bonjour,

Tu devrais créer un nouveau sujet pour ta question...

Bref, réponse rapide : soit tu remarques que ces trois distances proviennent de normes sur \(\mathbb{R}^n\). Or \(\mathbb{R}^n\) est de dimension finie donc toutes les normes sur cet ev sont équivalentes. Ce qui implique que les distances associées à ces normes sont équivalentes.
Soit tu mets les mains de le cambouis, et tu pars de la définition de distances équivalentes : ce n'est pas si dur de montrer directement que ces trois distances le sont (même démo que pour les normes justement).