Bonjour, 

Pour résoudre une équation avec Arctan, je vu qu'on procédait par implication. Voici un exemple à titre indicatif :  http://www.panamaths.net/Documents/Exercices/SolutionsPDF/26/TRIGOC00004.pdf .

Ma question, si vous me le permettez, est : comment peut-on procéder par des équivalences successives quitte à poser des conditions de validité ?

Merci par avance pour vos réponses. 

OUblie, j'ai dis une connerie.

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Edité par Nozio 30 novembre 2020 à 14:29:26

Toujours dans l'attente de vos réponses bien précieuses.

En fait pour avoir l'équivalence, on doit avoir Arctan(2x) + Arctan(3x)  ]-/2 ; /2[.

Or ici, Arctan(2x) et Arctan(3x) sont définis séparément et on a donc d'après tes conditions initiales Arctan(2x) + Arctan(3x)  ]- ; [.

Intuitivement, j'utiliserais la méthode de Newton pour trouver la valeur de x.
arctan() est dé rivable.
L'algorithme de Newton dit:
x' = x + F(x) / F'(x)
où x' est l'approximation suivante, et F'(x) est la dérivée de la  fonction F(x)
on applique récursivement la méthode. On arrête quand les approximations sont assez proches, voire égales.
L'algorithme converge de façon quadratique.

Sidka a écrit:

En fait pour avoir l'équivalence, on doit avoir Arctan(2x) + Arctan(3x)  ]-/2 ; /2[.

Or ici, Arctan(2x) et Arctan(3x) sont définis séparément et on a donc d'après tes conditions initiales Arctan(2x) + Arctan(3x)  ]- ; [.

En fait j'ai trouvé une astuce :  bien que ça appartienne à ]- ; [ ,  on peut dire qu'il faut que cos soit positif strictement pour que ce soit dans ]-/2 ; /2[ , et donc on aura le domaine où sera x. 

NB: Mon idée plus clairement :

posons : Arctan(2x) =X

et Arctan(3x) = Y

Cos (X+Y) =cos(X)cos(Y)-sin(X)sin(Y)=cos(X)cos(Y)(1-tan(X)tan(Y))=cos(X)cos(Y)(1-2x*3x)

1-2X*3X=1-6x²  : (E)

il suffit de trouver x pour que (E) soit strictement positive. 

Est-ce que c'est correcte ?

Merci pour vos remarques.

Cordialement.

Sur le principe oui, mais quitte à poser des conditions supplémentaires de validité pour avoir l'équivalence je ne vois pas pourquoi aller aussi loin.

Oui, c'est vrai. Je voulais juste explorer cette méthode et ressentir donc la différence.

Merci encore une fois.

On peut procéder avec des équivalences, mais c'est extrèmement lourd.

Résoudre  :  f(x) = pi/4

Méthode 1 : f(x) = pi/4  implique que  tan(f(x)) = tan(pi/4)  etc etc 

Méthode 2 : f(x) = pi/4 est équivalent à      tan(f(x)=tan(pi/4) ET f(x) est entre -pi/2 et pi/2   

Et on déroule les équivalences, en rappelant bien à chaque ligne que f(x) doit être entre -pi/2 et pi/2.

Avec la méthode 1, on ne répète pas cette condition à chaque ligne, on se contente de la rajouter à la fin

Méthode 1 : f(x) = pi/4  implique que  tan(f(x)) = tan(pi/4)  etc etc    

Une condition nécessaire pour que f(x)=pi/4, c'est donc que ... .. 

Mais cette condition n'est pas suffisante , il faut en plus que f(x) soit entre -pi/2 et pi/2. Vérifions si f(x) est bien entre -pi/2 et pi/2   etc etc 

Au final, les calculs sont les mêmes, mais en terme de rédaction, devoir répéter à chaque ligne que f(x) doit être dans tel intervalle, c'est beaucoup trop lourd.

C'est pour ça qu'on préfère la méthode avec des implications.

Merci tbc92