Bonsoir , voila j'ais un problème pour cette exercice je ne comprend pas ce qu'on me demande.
Un polynome qui ne contient que les termes <math>\(x^2\)</math> ,<math>\(x^4\)</math> et une constante est un polynôme
bicarré, comme par exemple g(x)=<math>\(x^4+3x^2+1\)</math>.

I) on veut résoudre l’équation bicarrée (E)
<math>\(2x^4+x^2-6=0\)</math>

a) Pour cela , on effectue un changement de variable.
Poser <math>\(u =x^2\)</math> et résoudre l’équation associée d'inconnue u:
<math>\(2u^2+u-6=0\)</math>

b) Pourquoi ne retient-on que les valeurs positive de u ?

c) En déduire les solutions de (E)

II)Resoudre par l meme procédé l'equation bicarrée :
<math>\(x^4+4x^2-5=0\)</math>

Je ne comprend pas mais je sais que<math>\(x^4=x^2*x^2\)</math> non ?
Merci de votre aide

Si tu as <math>\(u=x^2\)</math>
Alors: <math>\(x^4=x^2 \times x^2 = u \times u = u^2\)</math>

I/
a. Donc ton équation en u se résout avec la méthode habituel du discriminant.
b. Comment exprimes tu u en fonction de <math>\(x\)</math> ? Est il possible de trouver un <math>\(x\)</math> dans <math>\(\mathbb{R}\)</math> tel que <math>\(u\)</math>soit négatif ?
c. Si tu as <math>\(u=x^2\)</math>, alors que vaut <math>\(x\)</math> ?

II/
Pareil que précédemment.

oui mais je trouve que l'équation de la a) n'as pas de solution réelle c'est normal ?

Dans l'absolu il serait possible que l'équation n'est pas de solution, mais en l'occurence elle en a, tu as du faire une erreur en calculant le discriminant.

Sinon j'ai plus élégant !

On souhaite résoudre <math>\(2u^2 + u - 6 = 0\)</math>.
On remarque que <math>\(-2\)</math> est une racine évidente.
On factorise alors <math>\(2u^2+u-6 = (u+2)(2u -3) = 2(u+2)(u - \frac{3}{2})\)</math>

Ainsi, les solutions de <math>\(2u^2 + u - 6\)</math> sont...




Passons !
Cette équation ne contient que des puissances de <math>\(x\)</math> qui sont des multiples de <math>\(2\)</math> !
Regarde : <math>\(4 = 2\times 2\)</math> et <math>\(x^4 = x^{2 \times 2} = {x^2}^2\)</math>
Et c'est ici qu'on pose <math>\(u=x^2\)</math>, et donc <math>\(u^2 = x^4\)</math>.

Du coup tu as une équation en <math>\(u\)</math> de degré <math>\(2\)</math>n que tu résous normalement !

Tu trouves <math>\(u = u' \mbox{ ou } u''\)</math> .

Or nous ce que l'on veut, c'est les valeurs solutions de l'équation en <math>\(x\)</math> !
On avait posé <math>\(x^2=u\)</math> donc <math>\(x = \sqrt{u}\)</math>.
Or une racine d'un nombre négatif ça n'existe pas ! Ainsi, on ne garde que les nombres positifs.



En fait, pour t'expliquer plus précisément, c'est la fonction carré qui n'est pas tip top...
Il existe deux nombres, qui élevés aux carrés donne le même nombre : <math>\(3^2={(-3)}^2=9\)</math>...
Regarde la fonction <math>\(f:x\mapsto x^2\)</math>.
Essaie de revenir en arrière (passer de <math>\(x^2\)</math> à <math>\(x\)</math>). Si on revient en arrière, il y a deux possibilités. On dit que la fonction n'est pas injective.

Citation : Doulilos

Sinon j'ai plus élégant ! […] On remarque que <math>\(-2\)</math> est une racine évidente.

Euh… Ce n'est pas très scientifique comme méthode, ça. Dans l'exemple donné, les racines sont élémentaires (un nombre entier et une fraction simple), mais dans le cas général, elles pourraient être n'importe quel nombre réel. Et s'il faut commencer à essayer toutes sortes de nombres pour trouver une racine, on n'est pas sorti de l'auberge !

Citation

On avait posé <math>\(x^2=u\)</math> donc <math>\(x = \sqrt{u}\)</math>.

Comme tu le suggères un peu plus loin, il ne faut pas oublier qu'il y a deux solutions : <math>\(x^2=u \Rightarrow x = {\color{red}\pm}\sqrt u\)</math>.

Citation

Or une racine d'un nombre négatif ça n'existe pas !

Oui, enfin, ça n'existe pas dans <math>\(\mathbb{R}\)</math> (nombres réels), mais ça existe dans <math>\(\mathbb{C}\)</math> (nombres complexes).

Salut à tous

Citation : Me Capello

Citation : Doulilos

Sinon j'ai plus élégant ! […] On remarque que <math>\(-2\)</math> est une racine évidente.

Euh… Ce n'est pas très scientifique comme méthode, ça. Dans l'exemple donné, les racines sont élémentaires (un nombre entier et une fraction simple), mais dans le cas général, elles pourraient être n'importe quel nombre réel. Et s'il faut commencer à essayer toutes sortes de nombres pour trouver une racine, on n'est pas sorti de l'auberge !

Ben moi je trouve ça tout à fait scientifique Il s'agit pas d'essayer toutes les solutions possibles... juste que face à des équations simples tu peux voir des racines facilement (en général, 1 ou 2). Du coup on évite le calcul bourrin du discriminant.

C'est à ça qu'on reconnait les méthodes élégantes

Citation : cameleon33

juste que face à des équations simples tu peux voir des racines facilement (en général, 1 ou 2). Du coup on évite le calcul bourrin du discriminant.

C'est à ça qu'on reconnait les méthodes élégantes

Ben essaie un peu de résoudre « élégamment » <math>\(x^2+x-1=0\)</math>, pour voir… C'est pourtant une équation on ne peut plus simple !

Par "équations simples", ils voulaient très certainement faire référence aux équations dont l'une des racines est justement évidente (-2, -1, 0, 1, 2 généralement), on peut alors trouver la seconde racine en regardant le coefficient du terme de degré <math>\(1\)</math> ou <math>\(0\)</math>. Cela permet de résoudre l'équation plus vite qu'en calculant le discriminant. Bien sur, ça ne marche pas pour toutes les équations du second degré (c'est même plutôt très rare), d'où la nécessité de la méthode générale, mais quand c'est possible, autant ne pas se priver.

Cela dit, étant donné qu'ici il s'agit très certainement d'un exercice d'application du cours destiné à entrainer à la résolution systématique d'équation du second degré, contourner la méthode du discriminant n'est surement pas ce qui était attendu.

comment résoudre une équation bicarrée

En posant y=x² et en résolvant l'équation en y.

(Évite de remonter un sujet vieux de six ans ! Tu fais perdre du temps à ceux qui lisent les forums, car ils risquent de lire inutilement toute la discussion.)