Bonjour,

Encore moi qui rencontre des difficultés avec des suites (si j'avais su qu'en TS on faisait que des suites numériques, jamais j'aurai choisi cette section. Je le savais depuis le début, j'aurai du faire un bac pro espace vert bien peinard...).

J'ai la suite <math>\((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\)</math> définit par <math>\(u_0 = 10\)</math> et <math>\(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}\)</math>.

Je sais que <math>\((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\)</math> est minorée par 3 donc <math>\(u_n \geq 3\)</math>.

J'ai ensuite montrer que <math>\(u_{n+1} - u_n = - \frac{(u_n + 2)(u_n - 3)}{\sqrt{u_n + 6} + u_n}\)</math> et j'en ai déduit que <math>\((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\)</math> est décroissante car <math>\((u_n + 2)(u_n - 3) \geq 0\)</math> étant donnée que <math>\(u_n \geq 3\)</math>.

La suite <math>\((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\)</math> converge car elle est minorée et décroissante, donc <math>\(\lim_{n \to +\infty} u_n = l\)</math>

C'est à partir de là que je bloque... je dois montrer que <math>\(l\)</math> est solution de l'équation <math>\(l^2 - l - 6 = 0\)</math>.

J'ai fouiller un peu dans le cours et j'ai trouvé ça :

Citation

<math>\(u_{n+1} = f(u_n)\)</math> et on sait que :
<math>\(\lim_{n \to +\infty} u_n = l \in \mathbb{R}\)</math>
<math>\(\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = l \in \mathbb{R}\)</math>
<math>\(\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(l)\)</math> que si <math>\(\lim_{x \to l} f(x) = f(l)\)</math>

Mais je ne sais pas trop comment procéder... Si vous pouvez m'apporter ne serait-ce qu'une petite aide, je vous en serais éternellement reconnaissant.

C'est tout simple, je suis surpris que tu ne le vois pas. Alors désolé, je ne vais pas utiliser de TeX, mais que se passe-t-il à l'infini ?

Un+1-Un = 0 ?
Un=l

Tu peux pas remettre ça en place dans une équation ? Ah et -6 =2*(-3)... si ça peut aider.

J'ai rien compris... Que se passe-t-il à l'infini ? C'est ce qu'on cherche je crois...

Maintenant que tu as montré que la limite de la suite existe, tu peux passer à la limite dans les expresssions qui font intervenir <math>\((u_n)_{\in \mathbb{N}}\)</math>, en n'oubliant pas que <math>\((u_{n+1})_{n \in \mathbb{N}}\)</math> a la même limite que <math>\((u_n)_{\in \mathbb{N}}\)</math> comme c'en est une suite extraite.

Citation : programLyrique

tu peux passer à la limite dans les expresssions qui font intervenir <math>\((u_n)_{\in \mathbb{N}}\)</math>

Désolé mais je ne comprends pas...

"passer à la limite" : c'est quoi ça ?

"les expresssions qui font intervenir <math>\((u_n)_{\in \mathbb{N}}\)</math>" : Je n'en vois que deux : <math>\(u_{n+1} - u_n\)</math> et <math>\(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}\)</math>

Exactement, c'est dans cette dernière formule que tu dois "passer à la limite" c'est-à-dire, calculer, avec les propriétés de la limite que tu as citées dans le premier post: <math>\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}u_{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{u_n + 6}\)</math>

Avec la propriété on a : <math>\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}u_{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{u_n + 6} = \sqrt{l + 6}\)</math>, mais je ne vois vraiment pas ce que je dois faire pour obtenir <math>\(l^2 - l - 6 = 0\)</math>

Vers quoi tend aussi <math>\(u_{n+1}\)</math> quand <math>\(n\)</math> tend vers <math>\(+\infty\)</math> (une indication se trouve d'ailleurs dans mon message précédent) ?
En égalisant avec ce que tu viens de trouver, et en faisant quelques manipulations algébriques, tu vas trouver ton équation.

Je dois partir de ça ? <math>\(l = \sqrt{l + 6}\)</math>

oui et mettre ça au carré, il se peut que ça marche.

Ok merci à vous, juste une dernière chose, je ne saisi vraiment pas ce que signifie ceci :

<math>\(\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(l)\)</math> que si <math>\(\lim_{x \to l} f(x) = f(l)\)</math>

Quelqu'un peut-il m'expliquer ? Merci à vous.

Et bien si f est continue quand un se rapproche de la f(un) va donc se rapprocher de f(l)

Tu n'as pas une autre formulation plus intuitive ? Merci.

Dans ton équation : <math>\(l^{2}-l-6=0\)</math> tu dois calculer quelque chose qui est égale à 0. Et là tu dois tilter. Tu viens de calculer <math>\(u_{n+1}-u_n\)</math> . Or justement, quand tu passes à la limite : <math>\(\lim_{n \to + \infty} u_{n+1}-u_n = 0\)</math> car <math>\(\lim_{n \to + \infty} u_{n+1} = l\)</math> et <math>\(\lim_{n \to + \infty} u_n = l\)</math> . Tu vois la suite ? Tu as une autre expression pour <math>\(u_{n+1}-u_n\)</math> que tu as calculé précédemment.

Donc il te reste à calculer ça :
<math>\(\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} - u_n = \lim_{n \to +\infty} - \frac{(u_n + 2)(u_n - 3)}{\sqrt{u_n + 6} + u_n}\)</math>

Or petite astuce <math>\(0= \frac{a}{b} \Leftrightarrow a=0\)</math> donc tu peux en déduire que
<math>\(lim_{n \to + \infty} (u_n + 2)(u_n - 3) = 0 \Leftrightarrow (l+2)(l+3) = 0\)</math>