Bonjour a tous, je suis actuellement en maths sup et j'ai un petit problème lorsqu'il faut trouver une solution particulière à une équation différentielle du second ordre. En effet, le cours n'est pas très clair donc voilà j'aimerai que quelqu'un m'explique une méthode efficace avec quelques exemples si possible.
Merci

Ce que revient à écrire un chapitre de cours entier.

Pose des questions plus précise que ça. Si tu bloques sur une résolution particulière, montre nous ton problème en déroulant ce que tu as déjà essayé de faire.

Voila un exercice ou je ne suis pas sur de moi:
Par exemple on considère (E): y''+4y'+4y = x*exp(-2x)+exp(x)
On sait que -2 est racine double de l'équation caractéristique donc on devrait avoir un polynôme (Q) tel que deq(Q)=deg(P)+2
Est-ce que yp(x)=ax^3*exp(-2x) + b*exp(x) ?

Citation : magoadu42

Voila un exercice ou je ne suis pas sur de moi:
Par exemple on considère (E): y''+4y'+4y = x*exp(-2x)+exp(x)
On sait que -2 est racine double de l'équation caractéristique donc on devrait avoir un polynôme (Q) tel que deq(Q)=deg(P)+2
Est-ce que yp(x)=ax^3*exp(-2x) + b*exp(x) ?

1) l'équation est linéaire: grâce au principe de superposition, tu cherches chacune des deux solutions particulières à:
<math>\(\begin{align}y''+4y'+4y&=x\exp{\left(-2x\right)}\\y''+4y'+4y&=\exp{x}\end{align}\)</math>
2) si <math>\(\deg{Q}=3\)</math>, alors: <math>\(Q(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)</math>, donc tu remplaces et tu identifies pour trouver les constantes.
3) tu cherches la solution particulière à la deuxième équation
4) tu fais la somme

Quand je cherche la solution particulière de <math>\(y"+4y'+4y=x*exp(-2x)\)</math> il y a un problème, je tombe sur un système qui me permet seulement d'identifier a et b, en effet tous les termes en c ou en d se simplifient pendant le calcul (je trouvais ça bizarre donc j'ai vérifié avec Mapple et j'arrive au même problème...)
Cela veut-il dire que la forme de la solution n'est pas <math>\(yp(x)=exp(-2x)*(ax^3+bx^2+cx+d)\)</math> ??

Citation : magoadu42

Quand je cherche la solution particulière de <math>\(y"+4y'+4y=x*exp(-2x)\)</math> il y a un problème, je tombe sur un système qui me permet seulement d'identifier a et b, en effet tous les termes en c ou en d se simplifient pendant le calcul (je trouvais ça bizarre donc j'ai vérifié avec Mapple et j'arrive au même problème...)
Cela veut-il dire que la forme de la solution n'est pas <math>\(yp(x)=exp(-2x)*(ax^3+bx^2+cx+d)\)</math> ??

Le polynôme caractéristique de ton équation différentielle est <math>\(X^2 + 4X + 4 = (X+2)^2\)</math>.
-2 est racine mais n'est pas égal au degré (1) de x. Donc tu dois chercher une solution particulière sous la forme <math>\(Q(x)exp(-2x)\)</math> où Q est un polynôme de degré 1. Donc je pense qu'il faut juste travailler avec ax+b.
Après, je peux me tromper .

Bonsoir,

Pour une équation linéaire du second ordre , la solution de l'équation homogène lorsqu'il y a une racine double <math>\(\lambda\)</math> est toujours de la forme : <math>\(e^{\lambda x}(c_1+c_2x)\)</math>, ici donc <math>\(\lambda = -2\)</math>

Je trouve comme solution particulière <math>\(y_P= \frac{x^3}{6}e^{-2x}+\frac{e^x}{9}\)</math>
J'ai vérifié, a priori c'est bien une solution avec le second membre complet.

J'utilise pour la trouver la méthode dite de la variation des constantes. Je ne sais pas si c'est à ton programme.
C'est pour ces équations linéaires ( à un ordre n quelconque en théorie)la méthode la plus systèmatique pour trouver une solution particulière avec un second membre quelconque.

Cette méthode dite de variation de la constante on l'a seulement appliquée dans le cas d'équation d'ordre 1 c'est pour ça je pensais qu'on avait pas le droit ici. Je vais faire le calcul et voir si je trouve le même résultat que toi

Citation : nabucos

Bonsoir,

Pour une équation linéaire du second ordre , la solution de l'équation homogène lorsqu'il y a une racine double \lambda est toujours de la forme : <math>\(e^{\lambda x}(c_1+c_2x)\)</math>, ici donc <math>\(\lambda = -2\)</math>

Je trouve comme solution particulière <math>\(y_P= \frac{x^3}{6}e^{-2x}+\frac{e^x}{9}\)</math>
J'ai vérifié, a priori c'est bien une solution avec le second membre complet.

J'utilise pour la trouver la méthode dite de la variation des constantes. Je ne sais pas si c'est à ton programme.
C'est pour ces équations linéaires ( à un ordre n quelconque en théorie)la méthode la plus systématique pour trouver une solution particulière avec un second membre quelconque.

C'est bon je trouve la même solution particulière et je pense avoir compris la méthode, donc merci a tous !