Bonjour,

Je cherche une méthode qui permette de résoudre une équation du type :

<math>\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)</math>

Je mets d'abord cette expression sous la forme:

<math>\(X^3 + MX + P\)</math>

M et P étant 2 réels constants, jusque là, j'y arrive, mais après
je bloque.

Normalement, je dois ensuite remplacer X par quelque chose (enfin je ne sais pas trop...), et là je bloque.





Merci d'avance.

Normalement tu dois pouvoir factoriser une première fois par x pour te retrouver avec une équation du second degré.

Edit : quand je dis par x ça veut dire par <math>\(x + \alpha\)</math> avec <math>\(\alpha\)</math> un nombre quelconque (souvent facile à trouver).

Oui, ça j'ai trouvé, je me retrouve avec une équation qui ressemble à:

<math>\((x + a)^3 + M(x + a) + P\)</math>

Je connais a, M et P, ça n'a pas été trop dur à trouver, mais que faire maintenant?

oui c est la bonne méthode ; et c est celle de cardan pour suivre ton raisonnement tu peux regarder ce lien http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan .

Non, normalement tu dois trouver une équation de ce genre : <math>\((a.x + \alpha)(b.x^2 + c.x + \beta)\)</math>

Citation : oty

oui c est la bonne méthode ; et c est celle de cardan pour suivre ton raisonnement tu peux regarder ce lien http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan .

J'avais été voir, c'est d'ailleurs comme ça que je suis arrivé à ce calcul, mais là je ne comprends plus ce que je dois faire:

quand j'ai:

<math>\((x + a)^3 + M(x + a) + P\)</math>

(Sachant que j'ai a, M et P), qu'est-ce que je dois faire pour terminer ?(j'ai pas trop compris sur wikipédia )

Edit :

Citation : floflo67

Non, normalement tu dois trouver une équation de ce genre : <math>\((a.x + \alpha)(b.x^2 + c.x + \beta)\)</math>

Ma méthode ne peut pas aboutir?

Disons que ta méthode sera nettement plus longue.
Pour la mienne, il te suffit de dire qu'un des deux membres doit être nul pour que ça soit nul, puis tu cherches les racines... et tu as finis

Citation : floflo67

Disons que ta méthode sera nettement plus longue.
Pour la mienne, il te suffit de dire qu'un des deux membres doit être nul pour que ça soit nul, puis tu cherches les racines... et tu as finis

En effet, tu n'as pas tort, mais maintenant, j'aimerais quand même essayer de finir cette méthode, je verrai après ce qui est long ou ne l'est pas , ça fait un petit bout de temps que je cherche, je ne voudrais pas abandonner si près du but.

Bonsoir,

Citation : floflo67

Normalement tu dois pouvoir factoriser une première fois par x pour te retrouver avec une équation du second degré.

Edit : quand je dis par x ça veut dire par <math>\(x + \alpha\)</math> avec <math>\(\alpha\)</math> un nombre quelconque (souvent facile à trouver).

Je ne vois pas par quel tour de passe passe on peut , partant de
<math>\(ax^3+bx^2+cx+d\)</math> trouver facilement la forme
<math>\((ax+\alpha)(bx^2+cx+d)\)</math>
Contrairement à l'affirmation, <math>\(\alpha\)</math> n'est pas du tout facile à trouver , même introuvable directement a priori dans le cas général.
Pour résoudre de façon tout à fait générale une équation du 3ème degré je ne pense pas que l'on puisse échapper à des techniques telles que celles indiquées dans wikipedia

Ce n'est que dans le cas trés particulier où on connaît à l'avance une racine ( ou que c'est un nombre entier ou rationnel facile à voir)que l'on peut faire simplement comme tu indiques cette factorisation ...sinon on voit mal pourquoi Cardan s'est creusé la tête!.

C'est vrai que le <math>\(\alpha\)</math> n'est pas toujours facile à trouver mais généralement dans les exercices que l'on donne il l'est.

puisque déjà tu es arriver a rendre l équation sous la forme : <math>\(x^3+mx+p=0\)</math> je peux te dire que tu as fait une bonne partie du travail ; pour t aider a finir ton raisonnement je te propose de suivre celui ci : on sait que pour tout nombres a et b on a <math>\((a+b)^3-3ab(a+b)-(a^3+b^3)=0\)</math>. si on pose <math>\(x=a+b\)</math> on a donc <math>\(x^3+mx+p=(a+b)^3-3ab(a+b)-(a^3+b^3)\)</math> l identification des coefficients conduit a poser <math>\(m=-3ab\)</math> et <math>\(p=-(a^3+b^3)\)</math> . on obtient donc <math>\(ab=-\frac{m}{3}\)</math> et <math>\(a^3+b^3=-p\)</math> on obtient alors le système suivant <math>\(a^3+b^3=-p\)</math> et <math>\(a^3b^3=-\frac{m^3}{27}\)</math> on posant <math>\(a^3=y\)</math> et <math>\(z=b^3\)</math> on aura y et z solution de l équation <math>\(X^2+pX-\frac{m^3}{27}=0\)</math> de la je suis sur que tu pourras continué tout seul bonne chance .

Donc si j'ai bien compris, on cherche <math>\(y\)</math> et <math>\(z\)</math> et on trouve les solutions : avec un système d'équation, non?

{ <math>\(y^3z^3 = -\frac{m^3}{27}\)</math>
{ <math>\(y^3+z^3 = -p\)</math>

Edit: je viens de voir que c'est ce que tu as écrit juste au-dessus .

si tu trouves y et z tu trouves facilement a et b car <math>\(a=\sqrt[3]{y}\)</math> et <math>\(b=\sqrt[3]{z}\)</math> avec cela tu trouve aussi x car <math>\(x=a+b\)</math>

Oui, encore faut-il résoudre le système.

<math>\(ab = c\)</math>
<math>\(a+b = d\)</math>

Plus qu'à trouver a et b et le tour est joué.

Développe (x-a)(x-b), tu devrais remarquer quelque chose.

Ça fait:

<math>\((x-a)(x-b) = 0\)</math>

<math>\(x^2 - bx - ax + ab = 0\)</math>

<math>\(x^2 - x (a + b) + ab = 0\)</math>

C'est bon, j'ai compris, merci de m'avoir aidé !